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20.已知數(shù)列{an}滿足an+2+an=2an+1,且a1=1,a2=4.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若數(shù)列{3anan+1}的前n項(xiàng)和為Sn,求證:Sn<1.

分析 (1)由等差數(shù)列的性質(zhì),可得數(shù)列{an}是等差數(shù)列,設(shè)公差為d,運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得d=3,可得所求通項(xiàng)公式;
(2)求得3anan+1=13n2-13n+1,運(yùn)用裂項(xiàng)相消求和,化簡(jiǎn)整理,結(jié)合不等式的性質(zhì),即可得證.

解答 解:(1)由an+2+an=2an+1,即an+2-an+1=an+1-an
可得數(shù)列{an}是等差數(shù)列,設(shè)公差為d,
由a2=4,即a1+d=4,解得d=3,
則an=1+3(n-1)=3n-2;
(2)證明:3anan+1=33n23n+1=13n213n+1,
Sn=114+1417++13n213n+1=113n+1,
13n+10,可得Sn<1.

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式的運(yùn)用,數(shù)列的求和方法:裂項(xiàng)相消求和,考查化簡(jiǎn)運(yùn)算能力,屬于中檔題.

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