【題目】已知圓，點(diǎn)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，的垂直平分線交于點(diǎn)．

（1）求證：為定值及動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）不在軸上的點(diǎn)為上任意一點(diǎn)，與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，直線交于另外一點(diǎn)．求證：直線與直線的斜率的乘積為定值，并求出該定值．

【答案】（1）見解析，（2）見解析，．

【解析】

（1）圓的圓心為，半徑為，根據(jù)中垂線有為定值，再利用橢圓的定義求解.

（2）設(shè)，，則，，再根據(jù)點(diǎn)，都在橢圓上，有，，代入化簡(jiǎn)求解.

（1）證明：如圖所示：

圓的圓心為，半徑為，

為定值，且，

所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡為焦點(diǎn)在軸上的橢圓，

設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程為，

可得，，，

故所求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為；

（2）證明：如圖所示：

設(shè)，，則，

∵，都在橢圓上，∴，，

∴，

∴．

所以直線與直線的斜率的乘積為定值，且為．

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，已知邊長(zhǎng)為2的正三角形ABE所在的平面與菱形ABCD所在的平面垂直，且，點(diǎn)F是BC上一點(diǎn)，且．

（1）當(dāng)時(shí)，證明：；

（2）是否存在一個(gè)常數(shù)k，使得三棱錐的體積等于四棱錐的體積的，若存在，求出k的值；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，．

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）若滿足不等式的正整數(shù)恰有個(gè)，求正實(shí)數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為了研究一種昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)和溫度是否有關(guān)，現(xiàn)收集了7組觀測(cè)數(shù)據(jù)列于下表中，并作出了如圖的散點(diǎn)圖．

溫度/℃

20

22

24

26

28

30

32

產(chǎn)卵數(shù)/個(gè)

6

10

22

26

64

118

310

26

79．4

3．58

112

11．6

2340

35．72

其中．

（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與哪一個(gè)更適宜作為該昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)與溫度的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）．

（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程；（保留兩位有效數(shù)字）

（3）根據(jù)關(guān)于的回歸方程，估計(jì)溫度為33℃時(shí)的產(chǎn)卵數(shù)．

（參考數(shù)據(jù)：）

附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，．

（Ⅰ）若在內(nèi)單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)分別為，，證明：．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，，其中.

（1）若函數(shù)的圖象均在軸上方，求的取值范圍；

（2）記為函數(shù)在上的零點(diǎn)，若存在唯一的，使得，且，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，三棱柱中， 平面， ， ， 分別為， 的中點(diǎn).

（1）求證： 平面；

（2）若平面平面，求直線與平面所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在直三棱柱中，，，是的中點(diǎn).

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值；

（3）試問線段上是否存在點(diǎn)，使與面所成角的正弦值為？若存在，求出此時(shí)的長(zhǎng)，若不存在，請(qǐng)說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______．

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