Question

5．已知拋物線y=$\frac{1}{16}$x²，A，B是該拋物線上兩點(diǎn)，且|AB|=24，則線段AB的中點(diǎn)P離x軸最近時(shí)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為8．

Answer 1

分析 求得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，由三角形的性質(zhì)丨AB丨≤丨AF丨+丨BF丨利用拋物線的性質(zhì)可知y₁+y₂≥16，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)可得線段AB的中點(diǎn)P離x軸最近時(shí)點(diǎn)的縱坐標(biāo)．

解答 解：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程x²=16y，焦點(diǎn)F（0，4），設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
由丨AB丨≤丨AF丨+丨BF丨=（y₁+4）+（y₂+4）=y₁+y₂，
∴y₁+y₂≥16，則線段AB的中點(diǎn)P點(diǎn)的縱坐標(biāo)y=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$≥8，
∴線段AB的中點(diǎn)P離x軸最近時(shí)點(diǎn)的縱坐標(biāo)8，
故答案為：8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，三角形的兩邊之和大于第三條邊，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．