Question

18．如圖，已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，短軸端點與橢圓的兩個焦點所構(gòu)成的三角形面積為1，過點D（0，2）且斜率為k的直線l交橢圓于A，B兩點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）是否存在定點$E（0，\frac{11}{4}）$，使$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BE}$恒為定值．若存在求出這個定值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)橢圓的性質(zhì)列方程解出a，b；
（2）聯(lián)立方程組消元，得出A，B坐標(biāo)的關(guān)系，代入向量的數(shù)量積公式計算即可．

解答 解：（1）根據(jù)$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}，bc=1$，
解得$a=\sqrt{2}，b=c=1$，
橢圓C的方程為$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立方程得，$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{2}+{y^2}=1\\ y=kx+2\end{array}\right.$，
消y得（1+2k²）x²+8kx+6=0，
則x₁+x₂=-$\frac{8k}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{6}{1+2{k}^{2}}$．
又∴y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=-$\frac{2{k}^{2}-4}{2{k}^{2}+1}$，
y₁+y₂=（kx₁+2）+（kx₂+2）=k（x₁+x₂）+4=$\frac{4}{2{k}^{2}+1}$．
∵$\overrightarrow{EA}=（{x_1}，{y_1}-\frac{11}{4}），\overrightarrow{EB}=（{x_2}，\frac{11}{4}-{y_2}）$，
∴$\overrightarrow{EA}•\overrightarrow{EB}={x_1}{x_2}+\frac{121}{16}-\frac{11}{4}（{y_1}+{y_2}）$=$\frac{6}{{2{k^2}+1}}+\frac{121}{16}-\frac{11}{4}×\frac{4}{{2{k^2}+1}}-\frac{{2{k^2}-4}}{{2{k^2}+1}}$
=$\frac{{105（2{k^2}+1）}}{{16（2{k^2}+1）}}=\frac{105}{16}$．
故$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BE}$恒為定值$\frac{105}{16}$．

點評 本題考查了橢圓的性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．