Question

7．在△ABC中，BC=8，sinB-sinC=$\frac{1}{2}$sinA，D點是邊BC的中點，則∠ADC的取值范圍為$（0，\frac{π}{3}]$．

Answer 1

分析 以BC所在的直線為x軸，以線段BC的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，由已知得A點的軌跡為以BC焦點的雙曲線的一支且除去頂點，由此能求出A的軌跡方程．再利用直線與雙曲線相切即可得出．

解答 解：以BC所在的直線為x軸，以線段BC的垂直平分線為y軸，
建立平面直角坐標(biāo)系，
則B（-4，0），C（4，0），
△ABC中，$\frac{AB}{sinC}$=$\frac{BC}{sinA}$=$\frac{AC}{sinB}$，
∵sinC-sinB=$\frac{1}{2}$sinA，
∴|AB|-|AC|=$\frac{1}{2}$|BC|=4＜|BC|=8，
∴A點的軌跡為以BC焦點的雙曲線的一支且除去頂點．
∴其方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{12}$=1．（x＞2）．
設(shè)直線y=kx與上述曲線相切，則（3-k²）x²-12=0，
利用△=0-4×（-12）×（3-k²）=0，解得k=$±\sqrt{3}$．
∴∠ADC∈$（0，\frac{π}{3}]$．
故答案為：$（0，\frac{π}{3}]$．

點評 本題考查了正弦定理、直線與雙曲線相切問題，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．