Question

18．已知函數(shù)f（x）=$\frac{k}{2}{x^2}+\frac{x+1}{e^x}$-1（k為常數(shù)，k∈R）．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)k=$\frac{1}{8}$時，若函數(shù)f（x）在（-∞，eⁿ]（n∈Z，e是自然對數(shù)的底數(shù)）上有兩個零點，求n的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論k的范圍，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）把k=$\frac{1}{8}$代入函數(shù)解析式，結(jié)合（1）中函數(shù)的單調(diào)性，可得f（x）的極大值為f（0）=0，極小值為f（3ln2）＜0，要使函數(shù)f（x）在（-∞，eⁿ]（n∈Z）上有兩個零點，轉(zhuǎn)化為$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{n}＞3ln2}\\{f（{e}^{n}）=\frac{{e}^{2n}}{16}+\frac{{e}^{n}+1}{{e}^{{e}^{n}}}-1≥0}\end{array}\right.$，由此不等式組可得n的最小值為2．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域為R，由$f（x）=\frac{k}{2}{x^2}+\frac{x+1}{e^x}-1$，
得$f'（x）=kx+\frac{{{e^x}-（x+1）{e^x}}}{{{{（{e^x}）}^2}}}=kx-\frac{x}{e^x}=\frac{{x（k{e^x}-1）}}{e^x}$．
①當(dāng)k≤0時，對x∈R都有ke^x-1＜0，當(dāng)x變化時，f'（x），f（x）的變化如下表：

x	（-∞，0）	0	（0，+∞）
f′（x）	+	0	-
f（x）	遞增	極大值	遞減

此時，f（x）的增區(qū)間是（-∞，0）；減區(qū)間是（0，+∞）．
②當(dāng)0＜k＜1時，$f'（x）=\frac{{kx（{e^x}-\frac{1}{k}）}}{e^x}$．由f'（x）=0，得x=0或x=-lnk＞0．
當(dāng)x變化時，f'（x），f（x）的變化如下表：

x	（-∞，0）	0	（0，-lnk）	-lnk	（-lnk，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	遞增	極大值	遞減	極小值	遞增

此時，f（x）的增區(qū)間是（-∞，0），（-lnk，+∞）；減區(qū)間是（0，-lnk）．
③當(dāng)k=1時，$f'（x）\frac{{x（{e^x}-1）}}{e^x}≥0$，此時，f（x）的增區(qū)間是（-∞，+∞），沒有減區(qū)間．
④當(dāng)1＜k時，$f'（x）=\frac{{kx（{e^x}-\frac{1}{k}）}}{e^x}$．由f'（x）=0，得x=0或x=-lnk＜0．
當(dāng)x變化時，f'（x），f（x）的變化如下表：

x	（-∞，-lnk）	-lnk	（-lnk，0）	0	（0，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	遞增	極大值	遞減	極小值	遞增

此時，f（x）的增區(qū)間是（-∞，-lnk），（0，+∞）；減區(qū)間是（-lnk，0）．
（2）k=$\frac{1}{8}$時，$f（x）=\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{x+1}{{e}^{x}}-1$，
由（1）②得：-lnk=-ln$\frac{1}{8}$=3ln2，
f（x）的增區(qū)間是（-∞，0），（3ln2，+∞）；減區(qū)間是（0，3ln2）．
∴f（x）的極大值為f（0）=0，極小值為f（3ln2）=$\frac{9l{n}^{2}2}{16}+\frac{3ln2+1}{8}-1$=$\frac{9l{n}^{2}2+6ln2-14}{16}$＜0，
要使函數(shù)f（x）在（-∞，eⁿ]（n∈Z）上有兩個零點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{n}＞3ln2}\\{f（{e}^{n}）=\frac{{e}^{2n}}{16}+\frac{{e}^{n}+1}{{e}^{{e}^{n}}}-1≥0}\end{array}\right.$，
∵滿足eⁿ＞3ln2的最小整數(shù)n為2，當(dāng)n=2時，$\frac{{e}^{4}}{16}+\frac{{e}^{2}+1}{{e}^{{e}^{2}}}-1＞\frac{{e}^{4}}{16}-1＞0$，
∴n的最小值為2．

點評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬難題．