Question

12．直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=sinα+cosα\\ y=1+sin2α\end{array}\right.$（α為參數(shù)，α∈[0，2π）），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為ρsinθ-ρcosθ=2．
（Ⅰ）寫出直線l和曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）求直線l與曲線C交點(diǎn)的直角坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直線l的極坐標(biāo)方程為ρsinθ-ρcosθ=2，把y=ρsinθ，x=ρcosθ代入即可化為直角坐標(biāo)方程．對(duì)于曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=sinα+cosα\\ y=1+sin2α\end{array}\right.$（α為參數(shù)，α∈[0，2π）），由x=sinα+cosα得，x²=1+sin2α，代入可得普通方程．又$x=sinα+cosα=\sqrt{2}sin（α+\frac{π}{4}）$，可得$x∈[-\sqrt{2}，\sqrt{2}]$．
（II）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}}\\{y-x=2}\end{array}\right.$，$x∈[-\sqrt{2}，\sqrt{2}]$．解出即可得出．

解答 解：（Ⅰ）直線l的極坐標(biāo)方程為ρsinθ-ρcosθ=2，可得直角坐標(biāo)方程：y-x=2．
對(duì)于曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=sinα+cosα\\ y=1+sin2α\end{array}\right.$（α為參數(shù)，α∈[0，2π）），
由x=sinα+cosα得，x²=1+sin2α，∴x²=y．
又$x=sinα+cosα=\sqrt{2}sin（α+\frac{π}{4}）$，
∴$x∈[-\sqrt{2}，\sqrt{2}]$，與參數(shù)方程等價(jià)的普通方程是x²=y，$x∈[-\sqrt{2}，\sqrt{2}]$．
（II）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}}\\{y-x=2}\end{array}\right.$，$x∈[-\sqrt{2}，\sqrt{2}]$．解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=1}\end{array}\right.$，
因此交點(diǎn)為（-1，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)方程、直線的參數(shù)方程化為普通方程、曲線交點(diǎn)、三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．