Question

14．如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CA=CB，M，N，P分別為AB，A₁C₁，BC的中點(diǎn)．
求證：（1）C₁P∥平面MNC；
          （2）平面MNC⊥平面ABB₁A₁．

Answer 1

分析 （1）連接MP，只需證明四邊形MPC₁N是平行四邊形，即可得MN∥C₁P∵C₁P，即可證得C₁P∥平面MNC；
（2）只需證明CM⊥平面MNC，即可得平面MNC⊥平面ABB₁A₁．

解答 證明：（1）連接MP，因?yàn)镸、P分別為AB，BC的中點(diǎn)
∵M(jìn)P∥AC，MP=$\frac{1}{2}AC$，
又因?yàn)樵谥比�棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∴AC∥A₁C₁，AC=A₁C₁
且N是A₁C₁的中點(diǎn)，∴MP∥C₁N，MP=C₁N
∴四邊形MPC₁N是平行四邊形，∴C₁P∥MN
∵C₁P?面MNC，MN?面MNC，∴C₁P∥平面MNC；
（2）在△ABC中，CA=CB，M為AB的中點(diǎn)，∴CM⊥AB．
在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，B₁B⊥面ABC．
∵CM?面ABC，∴BB₁⊥CM
由因?yàn)锽B₁∩AB=B，BB₁，AB?平面面ABB₁A₁
又CM?平面MNC，
∴平面MNC⊥平面ABB₁A₁．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面平行、面面垂直的判定，屬于中檔題．