Question

10．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，對任意的正整數(shù)n，都有S_n=$\frac{3}{2}$a_n+n-3成立．
（Ⅰ）求證：{a_n-1}為等比數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{na_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （I）對任意的正整數(shù)n，都有S_n=$\frac{3}{2}$a_n+n-3成立．n=1時，a₁=S₁=$\frac{3}{2}{a}_{1}$-2，解得a₁．n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，化為：a_n=3a_n-1-2，變形為a_n-1=3（a_n-1-1），即可證明．
（II）由（I）可得：a_n-1=3ⁿ，因此a_n=3ⁿ+1，na_n=n•3ⁿ+n．再利用“錯位相減法”、等比數(shù)列與等差數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 （I）證明：∵對任意的正整數(shù)n，都有S_n=$\frac{3}{2}$a_n+n-3成立．
∴n=1時，a₁=S₁=$\frac{3}{2}{a}_{1}$-2，解得a₁=4．
n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{3}{2}$a_n+n-3-$（\frac{3}{2}{a}_{n-1}+n-4）$，化為：a_n=3a_n-1-2，
變形為a_n-1=3（a_n-1-1），
∴{a_n-1}為等比數(shù)列，首項為3，公比為3．
（II）解：由（I）可得：a_n-1=3ⁿ，因此a_n=3ⁿ+1，∴na_n=n•3ⁿ+n．
∴數(shù)列{na_n}的前n項和T_n=3+2×3²+3×3³+…+n•3ⁿ+$\frac{n（n+1）}{2}$．
設(shè)A_n=3+2×3²+3×3³+…+n•3ⁿ，
則3A_n=3²+2×3³+…+（n-1）•3ⁿ+n•3ⁿ⁺¹，
∴-2A_n=3+3²+…+3ⁿ-n•3ⁿ⁺¹=$\frac{3（{3}^{n}-1）}{3-1}$-n•3ⁿ⁺¹，
可得A_n=$\frac{3}{4}$+$\frac{（2n-1）•{3}^{n+1}}{4}$，
∴數(shù)列{na_n}的前n項和T_n=$\frac{3}{4}$+$\frac{（2n-1）•{3}^{n+1}}{4}$+$\frac{n（n+1）}{2}$．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式與求和公式、“錯位相減法”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．