Question

1．已知函數(shù)f（x）=alnx（a＞0），e為自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）當x＞0時，求證：f（x）≥a（1-$\frac{1}{x}$）；
（2）在區(qū)間（1，e）上$\frac{f（x）}{x-1}$＞1恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，解關(guān)于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出g（x）的最小值，證出結(jié)論即可；
（2）求出h（x）的導數(shù)，通過討論a的范圍，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性確定出a的范圍即可．

解答 解：（1）證明：令$g（x）=f（x）-a（1-\frac{1}{x}）=a（lnx-1+\frac{1}{x}）$；
則函數(shù)的導數(shù)$g'（x）=a（\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}）$．
令g'（x）＞0，即$a（\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}）＞0$，解得x＞1，
∴g（x）在（0，1）上遞減，在（1，+∞）上遞增．
∴g（x）最小值為g（1）=0，故$f（x）≥a（1-\frac{1}{x}）$成立．…（5分）
（2）令h（x）=alnx+1-x，則$h'（x）=\frac{2}{x}-1$，
令h'（x）＞0，解得x＜a．…（8分）
當a＞e時，h（x）在（1，e）是增函數(shù)，所以h（x）＞h（1）=0．
當1＜a≤e時，h（x）在（1，a）上遞增，（a，e）上遞減，
∴只需h（x）≥0，即a≥e-1．…（10分）
當a≤1時，h（x）在（1，e）上遞減，則需h（e）≥0，
∵h（e）=a+1-e＜0不合題意，…（11分）
綜上，a≥e-1．…（12分）

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道中檔題．