Question

12．在銳角△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對應的邊分別是a，b，c．已知sinAsinC=$\frac{3}{4}$，b²=ac．
（1）求角B的值；
（2）若b=$\sqrt{3}$，求△ABC的周長．

Answer 1

分析 （1）由b²=ac，利用正弦定理，結合sinAsinC=$\frac{3}{4}$，求出sinB，即可求角B的大�。�
（2）由已知利用余弦定理可求a+c的值，進而可求周長的值．

解答 （本題滿分為10分）
解：（1）因為b²=ac，
所以由正弦定理得sin²B=sinAsinC．
因為sinAsinC=$\frac{3}{4}$，
所以sin²B=$\frac{3}{4}$．
因為sinB＞0，
所以sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
因為0＜B＜$\frac{π}{2}$，
所以B=$\frac{π}{3}$． …（5分）
（2）因為：B=$\frac{π}{3}$，b=$\sqrt{3}$，b²=ac
所以：由余弦定理可得：3=a²+c²-ac=（a+c）²-3ac=（a+c）²-9，
解得：a+c=2$\sqrt{3}$，
所以：△ABC的周長為：a+b+c=2$\sqrt{3}$+$\sqrt{3}$=3$\sqrt{3}$…（10分）

點評 本題主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的應用，考查了轉化思想，屬于基礎題．