Question

已知數(shù)列{a_n}滿足3a_n+1+a_n=4（n≥1），且a₁=9，其前n項(xiàng)和為S_n，則滿足不等式|S_n-n-6|＜

1

90

的最小正整數(shù)n是（　�。�

• A、3
• B、4
• C、5
• D、6

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,數(shù)列的求和

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：首先根據(jù)題意，將3a_n+1+a_n=4變形為3（a_n+1-1）=-（a_n-1），可得{a_n-1}是等比數(shù)列，結(jié)合題意，可得其前n項(xiàng)和公式，進(jìn)而可得|S_n-n-6|=6×（-

1

3

）ⁿ；依題意，有|S_n-n-6|＜

1

90

，解可得答案．

解答： 解：根據(jù)題意，3a_n+1+a_n=4，化簡(jiǎn)可得3（a_n+1-1）=-（a_n-1）；
則{a_n-1}是首項(xiàng)為a_n-1=8，公比為-

1

3

的等比數(shù)列，
進(jìn)而可得S_n-n=

8[1-(- 1 3 )n]

1-(- 1 3 )

=6[1-（-

1

3

）ⁿ]，即|S_n-n-6|=6×（-

1

3

）ⁿ；
依題意，|S_n-n-6|＜

1

90

即（-

1

3

）ⁿ＜

1

540

，且n∈N^*，
分析可得滿足不等式|S_n-n-6|＜

1

90

的最小正整數(shù)n是6；
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的應(yīng)用，解題時(shí)注意將3a_n+1+a_n=4轉(zhuǎn)化為3（a_n+1-1）=-（a_n-1），進(jìn)而利用等比數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行解題．