Question

已知函數(shù)f（x）=x²，g（x）=2lnx．
（Ⅰ）設(shè)h（x）=f（x）-g（x），求h（x）的最小值．
（Ⅱ）上下平移f（x）的圖象為c個單位，當c為何值時，f（x）平移后的圖象與g（x）的圖象有公共點且在公共點處切線相同．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程,函數(shù)的圖象與圖象變化

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）把f（x），g（x）的解析式代入h（x）=f（x）-g（x），利用導(dǎo)數(shù)求其最小值；
（Ⅱ）設(shè)出公共點的坐標，分別求出過公共點的兩曲線的切線方程，由系數(shù)相等求得c的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=x²，g（x）=2lnx，
∴h（x）=f（x）-g（x）=x²-2lnx （x＞0），
h′(x)=2x-

2

x

=

2x2-2

x

，
當x∈（0，1）時，h′（x）＜0，h（x）為減函數(shù)，
當x∈（1，+∞）時，h′（x）＞0，h（x）為增函數(shù)．
∴h（x）的最小值為h（1）=1；
（Ⅱ）設(shè)對f（x）平移后的函數(shù)解析式為t（x）=f（x）+c=x²+c，
再設(shè)具有公切線的公共點為（x₀，y₀），
由點（x₀，y₀）在t（x）上，得y0=t(x0)=x02+c，
t′（x₀）=2x₀，
∴切線方程為y-x02-c=2x0(x-x0)，
整理得：y=2x0x-x02+c．
再由點（x₀，y₀）在g（x）上，得y₀=g（x₀）=2lnx₀，
g′(x0)=

2

x0

，
∴切線方程為y-2lnx0=

2

x0

(x-x0)，
整理得：y=

2

x0

•x-2+2lnx0．
∴

2x0= 2 x0 2lnx0-2=c-x02

，解得：c=-1．
∴c的值為-1．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，考查了利用導(dǎo)數(shù)求曲線在某點處的切線方程，訓(xùn)練了利用比較系數(shù)法
求參數(shù)問題，是中檔題．