Question

18．設(shè)不等式|2x-1|＜1的解集為M，且a∈M，b∈M．
（1）試比較ab+1與a+b的大�。�
（2）設(shè)max{A}表示數(shù)集A中的最大數(shù)，且$h=max\{\frac{2}{{\sqrt{a}}}，\frac{a+b}{{\sqrt{ab}}}，\frac{ab+1}{{\sqrt}}\}$，求證：h＞2．

Answer 1

分析 （1）利用絕對值不等式的解法求解可得M，然后利用作差法證明不等式即可．
（2）判斷三個數(shù)都是正數(shù)，然后求解3個數(shù)的乘積，推出h的范圍，即可得到結(jié)果．

解答 解 （1）不等式|2x-1|＜1，可得-1＜2x-1＜1，即0＜x＜1，所以不等式的解集為：M={x|0＜x＜1}，
∵a，b∈M，
∴ab+1-a-b=（a-1）（b-1）＞0，
∴ab+1＞a+b…..（6分）
（2）設(shè)max{A}表示數(shù)集A中的最大數(shù)，且$h=max\{\frac{2}{{\sqrt{a}}}，\frac{a+b}{{\sqrt{ab}}}，\frac{ab+1}{{\sqrt}}\}$，∵$h≥\frac{2}{{\sqrt{a}}}，h≥\frac{a+b}{{\sqrt{ab}}}，h≥\frac{ab+1}{{\sqrt}}$，3個數(shù)都是正數(shù)，
∴${h^3}≥\frac{2（a+b）（ab+1）}{ab}$
由（1）ab+1＞a+b
∴${h^3}＞\frac{{2{{（a+b）}^2}}}{ab}≥\frac{{2{{（2\sqrt{ab}）}^2}}}{ab}=8$，
h＞2…..（12分）
$或∵ab+1≥2\sqrt{ab}，a+b≥2\sqrt{ab}（當且僅當a=b=1時取等號）$，
∴${h^3}≥\frac{2（a+b）（ab+1）}{ab}＞\frac{{8{{（\sqrt{ab}）}^2}}}{ab}=8$
（∵0＜a＜1，0＜b＜1，∴等號取不到）
∴h＞2．

點評 本題考查不等式的證明，絕對值不等式的解法，函數(shù)的最值的應(yīng)用，考查計算能力．