Question

1．已知曲線C₁的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$（為參數）．在以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C₂：${ρ^2}=\frac{12}{{3+{{sin}^2}θ}}$．
（Ⅰ）求曲線C₁的普通方程和C₂的直角坐標方程；
（Ⅱ）若C₁與C₂相交于A、B兩點，設點F（1，0），求$\frac{1}{|FA|}+\frac{1}{|FB|}$的值．

Answer 1

分析 （I）曲線C₁的參數方程消去參數能求出曲線C₁的普通方程；由曲線C₂極坐標方程，能求出C₂的直角坐標方程．
（Ⅱ）由題意可設，與A、B兩點對應的參數分別為t₁，t₂，將C₁的參數方程代入C₂的直角坐標方程，得：5t²+4t-12=0，由此能求出

解答 解：（I）∵曲線C₁的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$（為參數），
∴$\left\{\begin{array}{l}t=2x-2\\ t=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}y\end{array}\right.$，∴$\sqrt{3}x-y-\sqrt{3}=0$，
∴曲線C₁的普通方程為$y=\sqrt{3}（x-1）$．…2分
∵曲線C₂：${ρ^2}=\frac{12}{{3+{{sin}^2}θ}}$，∴3ρ²+ρ²sin²θ=12，
∴3（x²+y²）+y²=12，∴3x²+4y²=12，
∴C₂的直角坐標方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．…5分
（Ⅱ）由題意可設，與A、B兩點對應的參數分別為t₁，t₂，
將C₁的參數方程代入C₂的直角坐標方程$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，
化簡整理得，5t²+4t-12=0，∴$\left\{\begin{array}{l}{t_1}+{t_2}=-\frac{4}{5}\\{t_1}•{t_2}=-\frac{12}{5}\end{array}\right.$，…7分
∴$\frac{1}{{|{FA}|}}+\frac{1}{{|{FB}|}}=\frac{{|{FA}|+|{FB}|}}{{|{FA}|•|{FB}|}}=\frac{{|{t_1}|+|{t_2}|}}{{|{t_1}|•|{t_2}|}}$，
∵${t_1}•{t_2}=-\frac{12}{5}＜0$，∴$|{t_1}|+|{t_2}|=|{{t_1}-{t_2}}|=\sqrt{{{（{{t_1}+{t_2}}）}^2}-4{t_1}•{t_2}}=\sqrt{{{（{-\frac{4}{5}}）}^2}-4（{-\frac{12}{5}}）}=\frac{16}{5}$，
∴$\frac{1}{{|{FA}|}}+\frac{1}{{|{FB}|}}=\frac{{\frac{16}{5}}}{{\frac{12}{5}}}=\frac{4}{3}$…10分．

點評 本題考查參數方程、極坐標方程與直角坐標方程的互化方法，直線與橢圓的位置關系，是中檔題．