Question

【題目】已知函數，，為自然對數的底數.

（1）當時，證明：，；

（2）若函數在上存在兩個極值點，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）先求導，再利用導數研究函數的單調性從而得證；

（2）先求導數，再討論當時，當時，函數的單調性及極值情況，再求解即可.

（1）當時，，則，

當時，，則，又因為，

所以當時，，僅時，，

所以在上是單調遞減，所以，即.

（2），因為，所以，，

①當時，恒成立，所以在上單調遞增，沒有極值點.

②當時，，令，

則在上單調遞減，因為，，

當，即時，，，

所以在上單調遞增，，，

所以，，即，所以單調遞減，無極值點；

當，即時，存在，使，

當時，，當時，，

所以在單調遞增，在單調遞減，在處取極大值，

因為，所以，又因為，，

若存在兩個極值點，即存在兩個變號零點，則得，得，得，

此時存在，使得，，

當，，，，，，即在處取得極小值，在處取得極大值，，為的兩個極值點，則此時.

綜上可知若函數在上存在兩個極值點，則實數的取值范圍為：.