Question

12．設(shè)函數(shù)f（x）=ln（2x+3）+x²
（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性；          
（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間[0，1]的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的定義域，然后求解函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過導(dǎo)函數(shù)大于0，小于0，即可判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）通過f（x）在區(qū)間[0，1]上的單調(diào)性，直接求解函數(shù)的最大值和最小值．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域為（-$\frac{3}{2}$，+∞）…（1分）
f′（x）=$\frac{2}{2x+3}$+2x=$\frac{4（x+1）（x+\frac{1}{2}）}{2x+3}$，…（4分）
當f'（x）＞0時，解得-$\frac{3}{2}$＜x＜-1或x＞-$\frac{1}{2}$；…（5分）
當f'（x）＜0時，解得-1＜x＜-$\frac{1}{2}$…（6分）
所以函數(shù)f（x）在（-$\frac{3}{2}$，-1），（-$\frac{1}{2}$，+∞）上是增函數(shù)，在（-1，-$\frac{1}{2}$）上是減函數(shù)…（8分）
（Ⅱ）因為f（x）在[0，1]上是增函數(shù)，
所以f（x）_max=f（1）=ln5+1，
f（x）_min=f（0）=ln3…（12分）

點評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的最值的求法，考查計算能力．