Question

18．如圖是我國(guó)2010年至2016年生活垃圾無(wú)害化處理量（單位：億噸）的折線圖．

（Ⅰ）由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說(shuō)明；
（Ⅱ）建立y關(guān)于t的回歸方程（系數(shù)精確到0.01），預(yù)測(cè)2018年我國(guó)生活垃圾無(wú)害化處理量．
附注：參考數(shù)據(jù)：$\sum_{i=1}^7{y_i}$=9.32，$\sum_{i=1}^7{{t_i}{y_i}}$=40.17，$\sqrt{\sum_{i=1}^7{{{（{y_i}-\bar y）}^2}}}$=0.55，$\sqrt{7}$≈2.646．
參考公式：r=$\frac{{\sum_{i=1}^n{（{t_i}-\bar t）（{y_i}-\bar y）}}}{{\sqrt{\sum_{i=1}^n{{{（{t_i}-\bar t）}^2}\sum_{i=1}^n{{{（{y_i}-\bar y）}^2}}}}}}=\frac{{\sum_{i=1}^n{{t_i}{y_i}-n\overline t•\overline y}}}{{\sqrt{\sum_{i=1}^n{{{（{t_i}-\bar t）}^2}\sum_{i=1}^n{{{（{y_i}-\bar y）}^2}}}}}}$
回歸方程$\widehat{y}$=$\widehat{a}$+$\widehat$t中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{t}_{i}-\overline{t}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{t}_{i}-\overline{t}）^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{t}_{i}{y}_{i}-n\overline{t}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}（{t}_{i}-\overline{t}）^{2}}$，$\widehata=\overline y-\widehatb\overline x$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由折線圖中數(shù)據(jù)和附注中參考數(shù)據(jù)，計(jì)算相關(guān)系數(shù)，根據(jù)相關(guān)系數(shù)的值得出結(jié)論；
（Ⅱ）計(jì)算回歸系數(shù)，寫出y關(guān)于t的回歸方程；將2018年對(duì)應(yīng)的t值代入回歸方程，計(jì)算對(duì)應(yīng)的函數(shù)值即可．

解答 解：（Ⅰ）由折線圖中數(shù)據(jù)和附注中參考數(shù)據(jù)得$\overline t=4$，
$\sum_{i=1}^7{{{（{t_i}-\overline t）}^2}}=28$，
$\sqrt{\sum_{i=1}^7{{{（{y_i}-\overline y）}^2}}}=0.55$，
$\sum_{i=1}^7{（{t_i}-\overline t）（{y_i}-\overline y）}=\sum_{i=1}^7{{t_i}{y_i}-\overline t\sum_{i=1}^7{y_i}}=40.17-4×9.32=2.89$，
所以相關(guān)系數(shù)為$r≈\frac{2.89}{0.55×2×2.646}≈0.99$；…（4分）
因?yàn)閥與t的相關(guān)系數(shù)近似為0.99，
說(shuō)明y與t的線性相關(guān)程度相當(dāng)高，從而可以用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系；…（6分）
（Ⅱ）由$\overline y=\frac{9.32}{7}≈1.331$及（Ⅰ）得，
$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^7{（{t_i}-\overline t）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sum_{i=1}^7{{{（{t_i}-\overline t）}^2}}}}=\frac{2.89}{28}≈0.103$，
$\hat a=\overline y-\hat b\overline t≈1.331-0.103×4≈0.92$；
所以，y關(guān)于t的回歸方程為：$\hat y=0.92+0.10t$；…（10分）
將2018年對(duì)應(yīng)的t=9代入回歸方程得：
$\hat y=0.92+0.10×9=1.82$；
所以預(yù)測(cè)2016年我國(guó)生活垃圾無(wú)害化處理量將約1.82億噸…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相關(guān)系數(shù)與回歸直線方程的求法和應(yīng)用問(wèn)題，是中檔題．