Question

【題目】已知{an}是等比數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn（n∈N*），且 ﹣ = ，S6=63．
（1）求{an}的通項(xiàng)公式；
（2）若對(duì)任意的n∈N* ， bn是log2an和log2an+1的等差中項(xiàng)，求數(shù)列{（﹣1）n bn2}的前2n項(xiàng)和．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設(shè){an}的公比為q，則 ﹣ = ，即1﹣ = ，

解得q=2或q=﹣1．

若q=﹣1，則S6=0，與S6=63矛盾，不符和題意．∴q=2，

∴S6= =63，∴a1=1．

∴an=2n﹣1

（2）

解：∵bn是log2an和log2an+1的等差中項(xiàng)，

∴bn= （log2an+log2an+1）= （log22n﹣1+log22n）=n﹣ ．

∴bn+1﹣bn=1．

∴{bn}是以 為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列．

設(shè){（﹣1）nbn2}的前n項(xiàng)和為Tn，則

Tn=（﹣b12+b22）+（﹣b32+b42）+…+（﹣b2n﹣12+b2n2）=b1+b2+b3+b4…+b2n﹣1+b2n= = =2n2．

【解析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列方程解出公比q，利用求和公式解出a1 ， 得出通項(xiàng)公式；
（2）利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求出bn ， 使用分項(xiàng)求和法和平方差公式計(jì)算．
本題考查了等差數(shù)列，等比數(shù)列的性質(zhì)，分項(xiàng)求和的應(yīng)用，屬于中檔題．