Question

10．已知圓C與兩坐標軸都相切，圓心C到直線y=-x的距離等于$\sqrt{2}$．
（1）求圓C的方程；
（2）若直線l與x軸正半軸與y正半軸分別交于A（m，0），B（0，n）兩點（m＞2，n＞2），且直線l與圓C相切，求三角形AOB面積的最小值．

Answer 1

分析 （1）設圓的圓心為（a，b），半徑為r，運用直線和圓相切的條件：d=r，解方程即可得到所求圓的方程；
（2）設直線l方程為nx+my-mn=0，由直線和圓相切的條件：d=r，化簡整理可得$m+n=\frac{mn+2}{2}$，運用基本不等式可得mn的最小值，即可得到所求三角形的面積的最小值．

解答 解；（1）設圓的圓心為（a，b），半徑為r，
由題意可得|a|=|b|=r，$\frac{|a+b|}{\sqrt{2}}$=r，
解得a=b=r=1，或a=b=-1，r=1，
可得圓C方程為（x-1）²+（y-1）²=1，或（x+1）²+（y+1）²=1．
（2）直線l方程為nx+my-mn=0，∵直線l與圓C：（x-1）²+（y-1）²=1相切，
∴$\frac{{|{n+m-mn}|}}{{\sqrt{{n^2}+{m^2}}}}=1$，
∴（n+m-mn）²=n²+m²，左邊展開，整理得，mn=2m+2n-2．∴$m+n=\frac{mn+2}{2}$．
∵$m＞0，n＞0，m+n≥2\sqrt{mn}$，
∴$\frac{mn+2}{2}≥2\sqrt{mn}$，∴${（\sqrt{mn}）^2}-4\sqrt{mn}+2≥0$，
∴$\sqrt{mn}≥2+\sqrt{2}，或\sqrt{mn}≤2-\sqrt{2}$．∵m＞2，n＞2，
∴$\sqrt{mn}≥2+\sqrt{2}$，∴mn≥6+4$\sqrt{2}$，
三角形AOB面積$s=\frac{1}{2}mn$≥3+2$\sqrt{2}$，
則m=n=2+$\sqrt{2}$時，取得最小值為3+2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查圓的方程的求法和三角形的面積的最值，注意運用直線和圓相切的條件：d=r，以及基本不等式的運用，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．