Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)都是正數(shù)，且對(duì)任意n∈N^*，都有a_n²=2S_n-a_n，其中S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=3ⁿ+（-1）^n-1_•λ•2^a_n（λ為非零整數(shù)，n∈N^*），試確定λ的值，使得對(duì)任意n∈N^*，都有b_n+1＞b_n成立．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與函數(shù)的綜合,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知得

a

2 n

=2Sn-an，當(dāng)n≥2時(shí)，

a

2 n-1

=2Sn-1-an-1，兩式相減得

a

2 n

-

a

2 n-1

=an+an-1，由此能求出an=n(n∈N*)．
（Ⅱ）由已知得要使得b_n+1＞b_n恒成立，只須(-1)n-1•λ＜(

3

2

)n-1，由此能推導(dǎo)出λ=-1對(duì)所有的n∈N^*，都有b_n+1＞b_n成立．

解答： 解：（Ⅰ）∵n∈N^*時(shí)，

a

2 n

=2Sn-an，…①
當(dāng)n≥2時(shí)，

a

2 n-1

=2Sn-1-an-1，…②…（2分）
由①-②得，

a

2 n

-

a

2 n-1

=(2Sn-an)-(2Sn-1-an-1)
即

a

2 n

-

a

2 n-1

=an+an-1，
∵a_n+a_n-1＞0，
∴a_n-a_n-1=1（n≥2），…（4分）
由已知得，當(dāng)n=1時(shí)，

a

2 1

=2

S

1

-

a

1

，∴a₁=1．…（5分）
故數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列．
∴an=n(n∈N*)．…（6分）
（Ⅱ）∵an=n(n∈N*)，
∴bn=3n+(-1)n-1λ•2n，…（7分）
∴bn+1-bn=3n+1-3n+(-1)nλ•2n+1-(-1)n-1λ•2n
=2×3ⁿ-3λ•（-1）^n-1•2ⁿ．
要使得b_n+1＞b_n恒成立，
只須(-1)n-1•λ＜(

3

2

)n-1．…（8分）
（1）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，即λ＜(

3

2

)n-1恒成立．
又(

3

2

)n-1的最小值為1，∴λ＜1．…（9分）
（2）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，即λ＞-(

3

2

)n-1恒成立．
又-(

3

2

)n-1的最大值為-

3

2

，∴λ＞-

3

2

…（10分）
∴由（1），（2）得-

3

2

＜λ＜1，又λ≠0且λ為整數(shù)，…（11分）
∴λ=-1對(duì)所有的n∈N^*，都有b_n+1＞b_n成立．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查確定λ的值，使得對(duì)任意n∈N^*，都有bn+1＞bn成立，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分類討論思想的合理運(yùn)用．