Question

10．已知函數(shù)f（x）=log_a（x+1）-log_a（1-x），a＞0且a≠1．
（1）判斷f（x）的奇偶性并予以證明；
（2）當(dāng)a＞1時，求使f（x）＞0的x的解集．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)f（x）的定義域為（-1，1），對任意x∈（-1，1），求出f（-x）=-f（x），由此得到函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．
（2）由a＞1，f（x）＞0，得log_a（x+1）＞log_a（1-x），由此利用對數(shù)函數(shù)性質(zhì)能求出不等式f（x）＞0的解集．

解答 解：（1）由題知$\left\{\begin{array}{l}{x+1＞0}\\{1-x＞0}\end{array}\right.$，解得：-1＜x＜1，
∴函數(shù)f（x）的定義域為（-1，1），f（x）是奇函數(shù)．
證明：∵函數(shù)f（x）的定義域為（-1，1），所以對任意x∈（-1，1），
f（-x）=log_a（-x+1）-log_a（1-（-x））=-[log_a（x+1）-log_a（1-x）]=-f（x），
所以函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．
（2）∵a＞1，f（x）＞0，∴l(xiāng)og_a（x+1）＞log_a（1-x），
∴$\left\{\begin{array}{l}{x+1＞0}\\{1-x＞0}\\{x+1＞1-x}\end{array}\right.$，解得0＜x＜1，
所以不等式f（x）＞0的解集為{x|0＜x＜1}．

點評 本題考查函數(shù)的奇偶性的判斷與證明，考查不等式的解法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的合理運用．