Question

17．某商場在一部向下運行的手扶電梯終點的正上方豎直懸掛一幅廣告畫．如圖，該電梯的高AB為4米，它所占水平地面的長AC為8米．該廣告畫最高點E到地面的距離為10.5米．最低點D到地面的距離6.5米．假設(shè)某人的眼睛到腳底的距離MN為1.5米，他豎直站在此電梯上觀看DE的視角為θ．
（1）設(shè)此人到直線EC的距離為x米，試用x表示點M到地面的距離；
（2）此人到直線EC的距離為多少米，視角θ最大？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)相似三角形得出NH，從而得出MH；
（2）計算DG，EG，得出tan∠DMG和tan∠EMG，利用差角公式計算tanθ，得出tanθ關(guān)于x的解析式，利用不等式求出tanθ取得最大值時對應(yīng)的x即可．

解答 解：（1）由題意可知MG=CH=x，
由△CHN∽△CAB可得$\frac{NH}{AB}=\frac{CH}{AC}$，即$\frac{NH}{4}=\frac{x}{8}$，
∴NH=$\frac{x}{2}$，
∴M到地面的距離MH=MN+NH=$\frac{x+3}{2}$．
（2）DG=CD-CG=CD-MH=$\frac{5-x}{2}$，
同理EG=9-$\frac{x}{2}$，
∴tan∠DMG=$\frac{GD}{MG}$=$\frac{\frac{5-x}{2}}{x}$=$\frac{5-x}{2x}$，tan∠EMG=$\frac{EG}{MG}=\frac{9-\frac{x}{2}}{x}$=$\frac{18-x}{2x}$，
∴tanθ=tan（∠EMG-∠DMG）=$\frac{\frac{18-x}{2x}-\frac{5-x}{2x}}{1+\frac{18-x}{2x}•\frac{5-x}{2x}}$=$\frac{26x}{5{x}^{2}-23x+90}$=$\frac{26}{5x+\frac{90}{x}-23}$，
∵0＜x≤8，∴5x+$\frac{90}{x}$≥2$\sqrt{5x•\frac{90}{x}}$=30$\sqrt{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)5x=$\frac{90}{x}$即x=3$\sqrt{2}$時取等號，
∴當(dāng)x=3$\sqrt{2}$時，tanθ取得最大值，即θ取得最大值．

點評 本題考查了解三角形的實際應(yīng)用，屬于中檔題．