Question

【題目】設(shè)a，b∈R，函數(shù) ，g（x）=ex（e為自然對數(shù)的底數(shù)），且函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)g（x）的圖象在x=0處有公共的切線．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）若g（x）＞f（x）在區(qū)間（﹣∞，0）內(nèi)恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）f'（x）=x2+2ax+b，g'（x）=ex ，
由f'（0）=b=g'（0）=1，得b=1．
（Ⅱ）f'（x）=x2+2ax+1=（x+a）2+1﹣a2 ，
當(dāng)a2≤1時，即﹣1≤a≤1時，f'（x）≥0，從而函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，
當(dāng)a2＞1時， ，此時
若 ，f'（x）＞0，則函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
若 ，f'（x）＜0，則函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；
若 時，f'（x）＞0，則函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．
（Ⅲ）令h（x）=g'（x）﹣f'（x）=ex﹣x2﹣2ax﹣1，則h（0）=e0﹣1=0．h'（x）=ex﹣2x﹣2a，令u（x）=h'（x）=ex﹣2x﹣2a，則u'（x）=ex﹣2．
當(dāng)x≤0時，u'（x）＜0，從而h'（x）單調(diào)遞減，
令u（0）=h'（0）=1﹣2a=0，得 ．
先考慮 的情況，此時，h'（0）=u（0）≥0；
又當(dāng)x∈（﹣∞，0）時，h'（x）單調(diào)遞減，所以h'（x）＞0；
故當(dāng)x∈（﹣∞，0）時，h（x）單調(diào)遞增；
又因為h（0）=0，故當(dāng)x＜0時，h（x）＜0，
從而函數(shù)g（x）﹣f（x）在區(qū)間（﹣∞，0）內(nèi)單調(diào)遞減；
又因為g（0）﹣f（0）=0，所以g（x）＞f（x）在區(qū)間（﹣∞，0）恒成立．
接下來考慮 的情況，此時，h'（0）＜0，
令x=﹣a，則h'（﹣a）=e﹣a＞0．
由零點存在定理，存在x0∈（﹣a，0）使得h'（x0）=0，
當(dāng)x∈（x0 ， 0）時，由h'（x）單調(diào)遞減可知h'（x）＜0，所以h（x）單調(diào)遞減，
又因為h（0）=0，故當(dāng)x∈（x0 ， 0）時h（x）＞0．
從而函數(shù)g（x）﹣f（x）在區(qū)間（x0 ， 0）單調(diào)遞增；
又因為g（0）﹣f（0）=0，所以當(dāng)x∈（x0 ， 0），g（x）＜f（x）．
綜上所述，若g（x）＞f（x）在區(qū)間（﹣∞，0）恒成立，則a的取值范圍是
【解析】（Ⅰ）求出兩個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)g（x）的圖象在x=0處有公共的切線．列出方程即可求解b．
（Ⅱ）求出導(dǎo)函數(shù)f'（x）=，通過﹣1≤a≤1時，當(dāng)a2＞1時，分別判斷導(dǎo)函數(shù)的符號，推出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（Ⅲ）令h（x）=g'（x）﹣f'（x）=ex﹣x2﹣2ax﹣1，可得h（0）0．求出h'（x）=ex﹣2x﹣2a，令u（x）=h'（x）=ex﹣2x﹣2a，求出導(dǎo)數(shù)u'（x）=ex﹣2．當(dāng)x≤0時，u'（x）＜0，從而h'（x）單調(diào)遞減，求出 ．考慮 的情況， 的情況，分別通過函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的最值，推出a的范圍即可．