Question

17．已知函數(shù)f（x）=lnx，$g（x）=-\frac{a}{x}+\frac{3}{2}（a＞0）$
（1）當(dāng)a=1時(shí)，若曲線y=f（x）在點(diǎn)M（x₀，f（x₀））處的切線與曲線y=g（x）在點(diǎn)P（x₀，g（x₀））處的切線平行，求實(shí)數(shù)x₀的值；
（2）若?x∈（0，e]，都有f（x）≥g（x），求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把a(bǔ)=1導(dǎo)入解析式，并求出f′（x）和g′（x），根據(jù)切線平行對(duì)應(yīng)的斜率相等列出方程，求出x₀的值；
（2）根據(jù)條件設(shè)F（x）=f（x），再把條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，求出對(duì)應(yīng)的解析式和導(dǎo)數(shù)，求出臨界點(diǎn)，并根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系列出表格，再對(duì)a進(jìn)行分類討論，分別判斷出函數(shù)的單調(diào)性，再求出對(duì)應(yīng)的最小值，列出不等式求出a的范圍．

解答 解：（1）把a(bǔ)=1代入得，g（x）=-$\frac{1}{x}$+$\frac{3}{2}$，
則f′（x）=$\frac{1}{x}$，g′（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$，
∵f（x）在點(diǎn)M （x₀，f（x₀））處的切線與
g（x）在點(diǎn)P （x₀，g（x₀））處的切線平行，
∴$\frac{1}{{x}_{0}}$=$\frac{1}{{{x}_{0}}^{2}}$，解得x₀=1，
∴x₀=1，
（2）由題意設(shè)F（x）=f（x）-g（x）=lnx+$\frac{a}{x}$-$\frac{3}{2}$，
∵?x∈（0，e]，都有f（x）≥g（x），
∴只要F（x）在（0，e]上的最小值大于等于0即可，
則F′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{x-a}{{x}^{2}}$，由F′（x）=0得，x=a，
F（x）、F′（x）隨x的變化情況如下表：

x	（0，a）	a	（a，+∞）
F′（x）	-	0	+
F（x）	遞減	極大值	遞增

當(dāng)a≥e時(shí)，函數(shù)F′（x）在（0，e）上單調(diào)遞減，F(xiàn)（e）為最小值，
∴F（e）=1+$\frac{a}{e}$-$\frac{3}{2}$≥0，得a$≤\frac{e}{2}$，∴a≥e
當(dāng)a＜e時(shí)，函數(shù)F（x）在（0，a）上單調(diào)遞減，在（a，e）上單調(diào)遞增，
則F（a）為最小值，所以F（a）=lna+$\frac{a}{a}$-$\frac{3}{2}$，得a≥$\sqrt{e}$
∴$\sqrt{e}$≤a＜e，
綜上所述，a≥$\sqrt{e}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，以及恒成立問題的轉(zhuǎn)化，分類討論思想，考查了分析問題和解決問題的能力．