Question

5．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）．
（1）如果橢圓M的離心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，經(jīng)過點(diǎn)P（2，1）．
①求橢圓M的方程；
②經(jīng)過點(diǎn)P的兩直線與橢圓M分別相交于A，B，它們的斜率分別為k₁，k₂．如果k₁+k₂=0，試問：直線AB的斜率是否為定值？并證明．
（2）如果橢圓M的a=2，b=1，點(diǎn)B，C分別為橢圓M的上、下頂點(diǎn)，過點(diǎn)T（t，2）（t≠0）的直線TB，TC分別與橢圓M交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．若△TBC的面積是△TEF的面積的k倍，求k的最大值．

Answer 1

分析 （1）①由已知得$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{4}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{^{2}}$=1，a²=b²+c²，聯(lián)立解出即可得出．
②直線AB的斜率為定值$\frac{1}{2}$．由已知直線PA：y-1=k₁（x-2）代入橢圓M的方程消去y并整理得：（x-2）$[（1+4{k}_{1}^{2}）x+（2+8{k}_{1}-8{k}_{1}^{2}）]$=0，解得點(diǎn)A的坐標(biāo)．同理解得點(diǎn)B的坐標(biāo)．由k₁+k₂=0，可得k_AB=$\frac{{y}_{A}-{y}_{B}}{{x}_{A}-{x}_{B}}$=$\frac{1}{2}$為定值．
（2）直線TB方程為y=$\frac{1}{t}$x+1，代入橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，可得：（t²+4）x²+8tx=0，解得x_E，直線TC方程為：y=$\frac{3}{t}$x-1，代入橢圓方程可得：x_F．k=$\frac{{S}_{△TBC}}{{S}_{△TEF}}$=$\frac{\frac{1}{2}TB•TC•sin∠BTC}{\frac{1}{2}TE•TF•sin∠ETF}$=$\frac{TB•TC}{TE•TF}$=$\frac{{x}_{T}-{x}_{B}}{{x}_{T}-{x}_{E}}$•$\frac{{x}_{T}-{x}_{C}}{{x}_{T}-{x}_{F}}$，代入化簡換元利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（1）①由已知得$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{4}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{^{2}}$=1，a²=b²+c²，
聯(lián)立解得a²=8，b²=2．
橢圓M的方程為：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
②直線AB的斜率為定值$\frac{1}{2}$．
由已知直線PA：y-1=k₁（x-2）代入橢圓M的方程消去y并整理得：（x-2）$[（1+4{k}_{1}^{2}）x+（2+8{k}_{1}-8{k}_{1}^{2}）]$=0，
∴x_A=$\frac{8{k}_{1}^{2}-8{k}_{1}-2}{1+4{k}_{1}^{2}}$，y_A=$\frac{-4{k}_{1}^{2}-4{k}_{1}+1}{1+4{k}_{1}^{2}}$．
同理x_B=$\frac{8{k}_{2}^{2}-8{k}_{2}-2}{1+4{k}_{2}^{2}}$，y_B=$\frac{-4{k}_{1}^{2}-4{k}_{1}+1}{1+4{k}_{2}^{2}}$．
∵k₁+k₂=0，∴y_A-y_B=$\frac{4（{k}_{1}-{k}_{2}）（4{k}_{1}{k}_{2}-1）}{（1+4{k}_{1}^{2}）（1+4{k}_{2}^{2}）}$，x_A-x_B=$\frac{8（{k}_{1}-{k}_{2}）（4{k}_{1}{k}_{2}-1）}{（1+4{k}_{1}^{2}）（1+4{k}_{2}^{2}）}$，
∴k_AB=$\frac{{y}_{A}-{y}_{B}}{{x}_{A}-{x}_{B}}$=$\frac{1}{2}$為定值．
（2）直線TB方程為y=$\frac{1}{t}$x+1，代入橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，可得：（t²+4）x²+8tx=0，
解得x_E=$\frac{-8t}{{t}^{2}+4}$，
直線TC方程為：y=$\frac{3}{t}$x-1，代入橢圓方程可得：x_F=$\frac{24t}{{t}^{2}+36}$．
k=$\frac{{S}_{△TBC}}{{S}_{△TEF}}$=$\frac{\frac{1}{2}TB•TC•sin∠BTC}{\frac{1}{2}TE•TF•sin∠ETF}$=$\frac{TB•TC}{TE•TF}$=$\frac{{x}_{T}-{x}_{B}}{{x}_{T}-{x}_{E}}$•$\frac{{x}_{T}-{x}_{C}}{{x}_{T}-{x}_{F}}$=$\frac{t}{t+\frac{8t}{{t}^{2}+4}}$$•\frac{t}{t-\frac{24t}{{t}^{2}+36}}$=$\frac{（{t}^{2}+4）（{t}^{2}+36）}{（{t}^{2}+12）（{t}^{2}+12）}$，
令t²+12=m＞12，則k=$\frac{（m-8）（m+24）}{{m}^{2}}$=$1+\frac{16}{m}-\frac{192}{{m}^{2}}$=-192$（\frac{1}{m}-\frac{1}{24}）^{2}$+$\frac{4}{3}$$≤\frac{4}{3}$，
當(dāng)且僅當(dāng)m=24，即t=$±2\sqrt{3}$時(shí)，取“=”，
所以k的最大值為$\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、二次函數(shù)的單調(diào)性、三角形面積計(jì)算公式、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．