Question

1．已知定義在R上的函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{-x}，x＜0}\\{a{x}^{3}+（b-4a）{x}^{2}-（4b+m）x+n，0≤x≤4}\\{a（lo{g}_{4}x-1），x＞4}\end{array}\right.$，（其中a≠0）的圖象不間斷．
（1）求m，n的值；
（2）若a，b互為相反數(shù)，且f（x）是R上的單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍；
（3）若a=1，b∈R，試討論函數(shù)g（x）=f（x）+b的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由f（x）的圖象不間斷，可得f（0）=1，f（4）=0，解方程可得m，n；
（2）運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可得a＜0，求出三次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出對(duì)稱(chēng)軸，判別式小于等于0，解不等式可得a的范圍；
（3）由題意可得y=x³+（b-4）x²-（4b+$\frac{1}{4}$）x+1，y′=3x²+2（b-4）x-（4b+$\frac{1}{4}$），△=4（b-4）²+12（4b+$\frac{1}{4}$）=4b²+16b+67＞0，求得函數(shù)y的單調(diào)區(qū)間和極值，對(duì)b討論，①當(dāng)b＞0時(shí)，②當(dāng)b＜-1時(shí)，③當(dāng)-1＜b＜0時(shí)，④當(dāng)b=0時(shí)，⑤當(dāng)b=-1時(shí)，運(yùn)用解方程和函數(shù)零點(diǎn)存在定理，即可得到零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

解答 解：（1）由f（x）的圖象不間斷，可得f（0）=1，f（4）=0，
即為n=1，64a+16（b-4a）-4（4b+m）+n=0，解得m=$\frac{1}{4}$，n=1；
（2）由y=2^-x在R上遞減，可得f（x）是R上的單調(diào)函數(shù)，
則在y=a（log₄x-1）中，y′=$\frac{a}{xln4}$＜0，故a＜0；
在y=ax³+（b-4a）x²-（4b+$\frac{1}{4}$）x+1中，由a+b=0，y′=3ax²-10ax+4a-$\frac{1}{4}$，
對(duì)稱(chēng)軸為x=$\frac{5}{3}$，△=100a²-12a（4a-$\frac{1}{4}$）≤0，解得-$\frac{3}{52}$≤a＜0；
（3）由題意可得y=x³+（b-4）x²-（4b+$\frac{1}{4}$）x+1，y′=3x²+2（b-4）x-（4b+$\frac{1}{4}$），
△=4（b-4）²+12（4b+$\frac{1}{4}$）=4b²+16b+67＞0，
所以關(guān)于x的方程，y′=0有兩個(gè)不等實(shí)根x₁，x₂（x₁＜x₂），
當(dāng)x＜x₁時(shí)，y′＞0，函數(shù)y遞增；當(dāng)x₁＜x＜x₂時(shí)，y′＜0，函數(shù)y遞減；當(dāng)x＞x₂時(shí)，y′＞0，函數(shù)y遞增．
即有函數(shù)y在x₁處取得極大值，在x₂處取得極小值．
①當(dāng)b＞0時(shí)，2^-x+b=0無(wú)解，log₄x-1+b=0無(wú)解．
又f（0）+b=1+b＞0，f（4）+b=b＞0，f（2）+b=8+4（b-4）-2（4b+$\frac{1}{4}$）+1+b=-$\frac{15}{2}$-3b＜0，
f（x）+b=0在（0，4）有兩解，則g（x）=f（x）+b共有2個(gè)零點(diǎn)；
②當(dāng)b＜-1時(shí)，2^-x+b=0有一解x=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（-b），log₄x-1+b=0有一解x=4^1-b，
又f（0）+b=1+b＜0，f（4）+b=b＜0，f（$\frac{1}{2}$）+b=$\frac{1}{8}$+$\frac{1}{4}$（b-4）-$\frac{1}{2}$（4b+$\frac{1}{4}$）+1+b=-$\frac{3}{4}$b＞0，
則f（x）+b=0在（0，4）有4解，則g（x）=f（x）+b共有4個(gè)零點(diǎn)；
③當(dāng)-1＜b＜0時(shí)，2^-x+b=0無(wú)解，log₄x-1+b=0有一解x=4^1-b，
又f（0）+b=1+b＞0，f（4）+b=b＜0，
則f（x）+b=0在（0，4）有2解，則g（x）=f（x）+b共有2個(gè)零點(diǎn)；
④當(dāng)b=0時(shí)，有x=4和x=$\frac{1}{2}$兩個(gè)解；
⑤當(dāng)b=-1時(shí)，有x=0，x=16，x=$\frac{5-\sqrt{10}}{2}$三個(gè)解．
綜上可得，當(dāng)b＞-1時(shí)，g（x）有2個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)當(dāng)b=-1時(shí)，g（x）有3個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)b＜-1時(shí)，g（x）有4個(gè)零點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，主要是函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，注意運(yùn)用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，以及轉(zhuǎn)化思想和分類(lèi)討論思想方法，正確分類(lèi)和運(yùn)用零點(diǎn)存在定理是解題的關(guān)鍵，屬于難題．