Question

13．如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AD∥BC，PA⊥AB，CD⊥AD，BC=CD=$\frac{1}{2}$AD，E為AD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：PA⊥CD；
（Ⅱ）求證：平面PBD⊥平面PAB；
（Ⅲ）在平面PAB內(nèi)是否存在M，使得直線CM∥平面PBE，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用面面垂直的性質(zhì)，證明：PA⊥平面ABCD，即可證明PA⊥CD；
（Ⅱ）證明BD⊥平面PAB，即可證明：平面PBD⊥平面PAB；
（Ⅲ）在梯形ABCD中，AB與CD不平行．延長AB，DC，相交于點(diǎn)M（M∈平面PAB），點(diǎn)M即為所求的一個(gè)點(diǎn)．利用線線平行證明直線CM∥平面PBE．

解答 證明：（Ⅰ）因?yàn)槠矫鍼AB⊥平面ABCD，
平面PAB∩平面ABCD=AB，
又因?yàn)镻A⊥AB，
所以PA⊥平面ABCD．
則PA⊥CD．             …（5分）
（Ⅱ）由已知，BC∥ED，且BC=ED，所以四邊形BCDE是平行四邊形，
又CD⊥AD，BC=CD，所以四邊形BCDE是正方形，
連接CE，所以BD⊥CE，
又因?yàn)锽C∥AE，BC=AE，
所以四邊形ABCE是平行四邊形，
所以CE∥AB，則BD⊥AB．
由（Ⅰ）知PA⊥平面ABCD，
所以PA⊥BD，
又因?yàn)镻A∩AB=A，
則BD⊥平面PAB，
且BD?平面PBD，
所以平面PBD⊥平面PAB．…（10分）
（Ⅲ）在梯形ABCD中，AB與CD不平行．延長AB，DC，相交于點(diǎn)M（M∈平面PAB），點(diǎn)M即為所求的一個(gè)點(diǎn)．理由如下：由已知，BC∥ED，且BC=ED．
所以四邊形BCDE是平行四邊形，所以CD∥EB，即CM∥EB，
又EB?平面PBE，CM?平面PBE，
所以CM∥平面PBE．…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面、面面垂直的證明，考查線面平行，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．