Question

19．已知x₁，x₂是方程x²-3x+1=0的兩個(gè)實(shí)根，則$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=3；x${\;}_{1}^{2}$+$\frac{1}{{x}_{1}^{2}}$=7．x${\;}_{1}^{3}$+8x₂=21．

Answer 1

分析 根據(jù)已知結(jié)合韋達(dá)定理可得x₁+x₂=3，x₁•x₂=1，進(jìn)而可得$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$；x${\;}_{1}^{2}$+$\frac{1}{{x}_{1}^{2}}$，x${\;}_{1}^{3}$+8x₂的值．

解答 解：∵x₁，x₂是方程x²-3x+1=0的兩個(gè)實(shí)根，
∴x₁+x₂=3，x₁•x₂=1，
∴$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}•{x}_{2}}$=3，
x${\;}_{1}^{2}$+$\frac{1}{{x}_{1}^{2}}$=x${\;}_{1}^{2}$+${x}_{2}^{2}$=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=7，
x${\;}_{1}^{3}$+8x₂=x${\;}_{1}^{3}$+[（x₁+x₂）²-x₁•x₂]x₂=x${\;}_{1}^{3}$+x₁²•x₂+x₁•x₂²+x₂³=（x₁+x₂）³-2（x₁+x₂）•x₁•x₂=27-2×3×1=21，
故答案為：3，7，21

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理），轉(zhuǎn)化思想，難度中檔．