Question

函數(shù)f（x）定義在區(qū)間（0，+∞），y∈R，都有f（x^y）=yf（x），且f（x）不恒為零．
（1）求f（1）的值；
（2）若a＞b＞c＞1且b²=ac，求證：f（a）f（c）＜[f（b）]²；
（3）若f（

1

2

）＜0，求證：f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用賦值法即可求f（1）的值；
（2）根據(jù)不等式的性質(zhì)即可證明不等式f（a）f（c）＜[f（b）]²；
（3）由條件f（

1

2

）＜0，根據(jù)單調(diào)性的定義即可證明f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．

解答： （1）令x=1，y=2，可知f（1）=2f（1），故f（1）=0，
（2）設(shè)x^y=ac，則y=log?_xac，
∴f（ac）=f（x^y）=yf（x）=（log?_xac）f（x）=（log?_xa+log?_xc）f（x）=（log?_xa）f（x）+（log?_xc）f（x）=f(xlog?xa)+f(xlog?xc)=f(a)+f(c)，
∵b²=ac，
∴f（b²）=f（ac），
即2f（b）=f（a）+f（c），
f（b）=

f(a)+f(c)

2

，
∴[f(b)]2-f(a)f(c)=[

f(a)+f(c)

2

]2-f(a)f(c)=[

f(a)-f(c)

2

]2≥0．
下面證明當(dāng)x≠1時(shí)，f（x）≠0．
假設(shè)存在x≠1，f（x₀）=0，則對(duì)于任意x≠1，
f(x)=f[x0logx0x]=(log?x0x)f(x0)=0，不合題意．所以，當(dāng)x≠1時(shí)，f（x）≠0．
因?yàn)閍＞b＞c＞1，所以存在m≠1，
f（a）-f（c）=f(mlog?ma)-f(mlog?mc)=(log?ma-log?mc)f(m)≠0，
所以f（a）≠f（c），所以f（a）f（c）＜f²（b）．
（3）設(shè)x₀∈（0，1），則f(x0)=f[(

1

2

)log?

1

2

x0]=(log?

1

2

x0)f(

1

2

)＜0，
設(shè)x₁，x₂為區(qū)間（0，+∞）內(nèi)的任意兩個(gè)值，且x₁＜x₂，則0＜

x1

x2

＜1，
由（2）的證明知，
f（x₁）-f（x₂）=f(

x1

x2

×x2)-f(x2)=f(

x1

x2

)+f(x2)-f(x2)=f(

x1

x2

)＜0，
所以f（x₁）＜f（x₂），所以f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查抽象函數(shù)應(yīng)用以及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，綜合考查學(xué)生的運(yùn)算能力，綜合性較強(qiáng)，難度較大．