Question

7．過拋物線y²=4x的焦點且傾斜角為30°的直線交拋物線于A，B兩點，則|AB|=16．

Answer 1

分析 求出拋物線的焦點坐標F（1，0），用點斜式設出直線方程：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-1），與拋物線方程聯解得一個關于x的一元二次方程，利用根與系數的關系結合曲線的弦長的公式，可以求出線段AB的長度．

解答 解：根據拋物線y²=4x方程得：焦點坐標F（1，0），
直線AB的斜率為k=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
由直線方程的點斜式方程，設AB：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-1），
將直線方程代入到拋物線方程中，得：$\frac{1}{3}$（x-1）²=4x，
整理得：x²-14x+1=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由一元二次方程根與系數的關系得：x₁+x₂=14，x₁•x₂=1，所以弦長|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\sqrt{1+\frac{1}{3}}$•$\sqrt{192}$=16．
故答案為：16．

點評 本題以拋物線為載體，考查了圓錐曲線的弦長問題，屬于中檔題．本題運用了直線方程與拋物線方程聯解的方法，對運算的要求較高．利用一元二次方程根與系數的關系和弦長公式是解決本題的關鍵．