Question

13．已知函數(shù)f（x）=kx²-lnx，若f（x）＞0在函數(shù)定義域內(nèi)恒成立，則k的取值范圍是（　�。�

• A． $（{\frac{1}{e}，e}）$
• B． $（{\frac{1}{2e}，\frac{1}{e}}）$
• C． $（{-∞，\frac{1}{2e}}）$
• D． $（{\frac{1}{2e}，+∞}）$

Answer 1

分析 求出原函數(shù)的導函數(shù)，利用導數(shù)求得函數(shù)的最小值，由最小值大于0求得k的范圍．

解答 解：由f（x）=kx²-lnx（x＞0），得f′（x）=2kx-$\frac{1}{x}$=$\frac{2k{x}^{2}-1}{x}$，
當k≤0時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)，
又當x→+∞時，f（x）→-∞．不滿足f（x）＞0在函數(shù)定義域內(nèi)恒成立；
當k＞0時，由f′（x）=0，解得x=±$\sqrt{\frac{1}{2k}}$．
當x∈（0，$\sqrt{\frac{1}{2k}}$）時，f′（x）＜0，當x∈（$\sqrt{\frac{1}{2k}}$，+∞）時，f′（x）＞0．
∴f（x）在（0，$\sqrt{\frac{1}{2k}}$）上為減函數(shù)，在（$\sqrt{\frac{1}{2k}}$，+∞）上為增函數(shù)，
∴$f（x）_{min}=f（\sqrt{\frac{1}{2k}}）$=$k（\sqrt{\frac{1}{2k}}）^{2}-ln\sqrt{\frac{1}{2k}}$=$\frac{1}{2}$$-ln\sqrt{\frac{1}{2k}}$．
由$\frac{1}{2}$$-ln\sqrt{\frac{1}{2k}}$＞0，得ln$\sqrt{\frac{1}{2k}}$＜$\frac{1}{2}$，即k＞$\frac{1}{2e}$．
∴k的取值范圍是（$\frac{1}{2e}，+$∞），
故選：D．

點評 本題考查了恒成立問題，考查了利用導數(shù)求函數(shù)的最值，是中檔題．