Question

10．已知函數(shù)y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，對(duì)?x∈R都有f（x-1）=f（x+1）成立，當(dāng)x∈（0，1]且x₁≠x₂時(shí)，有$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＜0．給出下列命題
（1）f（1）=0        
（2）f（x）在[-2，2]上有4個(gè)零點(diǎn)
（3）點(diǎn)（2016，0）是函數(shù)y=f（x）的一個(gè)對(duì)稱中心
（4）x=2014是函數(shù)y=f（x）圖象的一條對(duì)稱軸．
則正確是（1）（3）．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)奇偶性和周期性，單調(diào)性之間的關(guān)系，分別進(jìn)行判斷即可得到結(jié)論．

解答 解：∵對(duì)?x∈R都有f（x-1）=f（x+1）成立，
∴對(duì)?x∈R都有f（x+2）=f（x）成立，
即函數(shù)y=f（x）是周期為2的周期函數(shù)，
∴f（1）=f（-1）．
∵當(dāng)x∈（0，1]且x₁≠x₂時(shí)，有$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＜0，
∴在區(qū)間（0，1]上函數(shù)為減函數(shù)．
又∵函數(shù)y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（1）=-f（-1）．
∴f（1）=0，即（1）正確；
滿足條件的函數(shù)y=f（x）的草圖如下所示：

由圖可知：
f（x）在[-2，2]上有：-2，-1，0，1，2，共5個(gè)零點(diǎn)，即（2）錯(cuò)誤；
所有（k，0）（k∈Z）點(diǎn)均為函數(shù)的對(duì)稱中心，故（3）（2016，0）是函數(shù)y=f（x）的一個(gè)對(duì)稱中心，正確；
函數(shù)y=f（x）圖象無(wú)對(duì)稱軸，故（4）錯(cuò)誤．
∴正確的命題是：（1）（3）．
故答案為：：（1）（3）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查與函數(shù)性質(zhì)有關(guān)的命題的真假判斷，涉及函數(shù)的奇偶性，周期性，單調(diào)性和對(duì)稱性，綜合考查函數(shù)的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，是中檔題．