Question

11．若直線l：x+2y=0與圓C：（x-a）²+（y-b）²=10相切，且圓心C在直線l的上方，則ab的最大值為$\frac{25}{4}$．

Answer 1

分析 根據(jù)直線和圓相切求出a，b的關(guān)系式，結(jié)合基本不等式進(jìn)行求解即可．

解答 解：圓C：（x-a）²+（y-b）²=10的圓心（a，b）半徑為：$\sqrt{10}$，
∵直線和圓相切，
∴$\frac{|a+2b|}{\sqrt{5}}=\sqrt{10}$，
∵圓心C在直線l的上方，
∴a+2b＞0，從而a+2b=5$\sqrt{2}$，
∴ab=$\frac{1}{2}$a（2b）≤$\frac{1}{2}×（\frac{a+2b}{2}）^{2}$=$\frac{25}{4}$，當(dāng)且僅當(dāng)a=2b，即a=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，b=$\frac{5\sqrt{2}}{4}$時(shí)取等號(hào)，
故ab的最大值為$\frac{25}{4}$，
故答案為：$\frac{25}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線和圓相切的應(yīng)用以及基本不等式的應(yīng)用，根據(jù)相切關(guān)系建立a，b的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．