Question

16．已知等差數(shù)列{a_n}和等比數(shù)列{b_n}，其中{a_n}的公差不為0．設(shè)S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和．若a₁，a₂，a₅是數(shù)列{b_n}的前3項(xiàng)，且S₄=16．
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{$\frac{4{S}_{n}-1}{{a}_{n}+t}$}為等差數(shù)列，求實(shí)數(shù)t；
（3）構(gòu)造數(shù)列a₁，b₁，a₂，b₁，b₂，a₃，b₁，b₂，b₃，…，a_k，b₁，b₂，…，b_k，…，若該數(shù)列前n項(xiàng)和T_n=1821，求n的值．

Answer 1

分析 （1）設(shè){a_n}的公差d≠0．由a₁，a₂，a₅是數(shù)列{b_n}的前3項(xiàng)，且S₄=16．可得${a}_{2}^{2}={a}_{1}{a}_{5}$，即$（{a}_{1}+d）^{2}={a}_{1}（{a}_{1}+4d）$，4a₁+$\frac{4×3}{2}d$=16，解得a₁，d，即可得出．
（2）S_n=$\frac{n（1+2n-1）}{2}$=n²．可得$\frac{4{S}_{n}-1}{{a}_{n}+t}$=$\frac{4{n}^{2}-1}{2n-1+t}$．根據(jù)數(shù)列{$\frac{4{S}_{n}-1}{{a}_{n}+t}$}為等差數(shù)列，可得$2×\frac{4×{2}^{2}-1}{3+t}$=$\frac{3}{1+t}$+$\frac{35}{5+t}$，t²-2t=0．
解得t．
（3）由（1）可得：S_n=n²，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和A_n=$\frac{{3}^{n}-1}{3-1}$=$\frac{1}{2}（{3}^{n}-1）$．?dāng)?shù)列{A_n}的前n項(xiàng)和U_n=$\frac{1}{2}×\frac{3（{3}^{n}-1）}{3-1}$-$\frac{1}{2}$n=$\frac{{3}^{n+1}-3}{4}$-$\frac{1}{2}$n．?dāng)?shù)列a₁，b₁，a₂，b₁，b₂，a₃，b₁，b₂，b₃，…，a_k，b₁，b₂，…，b_k，…，可得：該數(shù)列前k+$\frac{k（k-1）}{2}$=$\frac{k（k+1）}{2}$項(xiàng)和=k²+$\frac{{3}^{k}-3}{4}$-$\frac{1}{2}$（k-1），根據(jù)3⁷=2187，3⁸=6561．進(jìn)而得出．

解答 解：（1）設(shè){a_n}的公差d≠0．∵a₁，a₂，a₅是數(shù)列{b_n}的前3項(xiàng)，且S₄=16．
∴${a}_{2}^{2}={a}_{1}{a}_{5}$，即$（{a}_{1}+d）^{2}={a}_{1}（{a}_{1}+4d）$，4a₁+$\frac{4×3}{2}d$=16，
解得a₁=1，d=2，
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1．
∴b₁=1，b₂=3，公比q=3．
∴b_n=3^n-1．
（2）S_n=$\frac{n（1+2n-1）}{2}$=n²．∴$\frac{4{S}_{n}-1}{{a}_{n}+t}$=$\frac{4{n}^{2}-1}{2n-1+t}$．
∵數(shù)列{$\frac{4{S}_{n}-1}{{a}_{n}+t}$}為等差數(shù)列，
∴$2×\frac{4×{2}^{2}-1}{3+t}$=$\frac{3}{1+t}$+$\frac{35}{5+t}$，t²-2t=0．
解得t=2或0，經(jīng)過驗(yàn)證滿足題意．
（3）由（1）可得：S_n=n²，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和A_n=$\frac{{3}^{n}-1}{3-1}$=$\frac{1}{2}（{3}^{n}-1）$．?dāng)?shù)列{A_n}的前n項(xiàng)和U_n=$\frac{1}{2}×\frac{3（{3}^{n}-1）}{3-1}$-$\frac{1}{2}$n=$\frac{{3}^{n+1}-3}{4}$-$\frac{1}{2}$n．
數(shù)列a₁，b₁，a₂，b₁，b₂，a₃，b₁，b₂，b₃，…，a_k，b₁，b₂，…，b_k，…，
∴該數(shù)列前k+$\frac{k（k-1）}{2}$=$\frac{k（k+1）}{2}$項(xiàng)和=k²+$\frac{{3}^{k}-3}{4}$-$\frac{1}{2}$（k-1），
∵3⁷=2187，3⁸=6561．
∴取k=8，可得前$\frac{8×9}{2}$=36項(xiàng)的和為：${8}^{2}+\frac{{3}^{8}-3}{4}-\frac{1}{2}×7$=1700，
令T_n=1821=1700+$\frac{1}{2}（{3}^{m}-1）$，解得m=5．
∴n=36+5=41．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式性質(zhì)與求和公式、數(shù)列遞推關(guān)系、分類討論方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．