Question

【題目】某大學藝術專業(yè)400名學生參加某次測評，根據(jù)男女學生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法從中隨機抽取了100名學生，記錄他們的分數(shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：[20，30），[30，40），…[80，90]，并整理得到如下頻率分布直方圖：

（Ⅰ）從總體的400名學生中隨機抽取一人，估計其分數(shù)小于70的概率；
（Ⅱ）已知樣本中分數(shù)小于40的學生有5人，試估計總體中分數(shù)在區(qū)間[40，50）內的人數(shù)；
（Ⅲ）已知樣本中有一半男生的分數(shù)不小于70，且樣本中分數(shù)不小于70的男女生人數(shù)相等．試估計總體中男生和女生人數(shù)的比例．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由頻率分布直方圖知：分數(shù)小于70的頻率為：1﹣（0.04+0.02）×10=0.4
故從總體的400名學生中隨機抽取一人，估計其分數(shù)小于70的概率為0.4；
（Ⅱ）已知樣本中分數(shù)小于40的學生有5人，
故樣本中分數(shù)小于40的頻率為：0.05，
則分數(shù)在區(qū)間[40，50）內的頻率為：1﹣（0.04+0.02+0.02+0.01）×10﹣0.05=0.05，
估計總體中分數(shù)在區(qū)間[40，50）內的人數(shù)為400×0.05=20人，
（Ⅲ）樣本中分數(shù)不小于70的頻率為：0.6，
由于樣本中分數(shù)不小于70的男女生人數(shù)相等．
故分數(shù)不小于70的男生的頻率為：0.3，
由樣本中有一半男生的分數(shù)不小于70，
故男生的頻率為：0.6，
即女生的頻率為：0.4，
即總體中男生和女生人數(shù)的比例約為：3：2．
【解析】（Ⅰ）根據(jù)頻率=組距×高，可得分數(shù)小于70的概率為：1﹣（0.04+0.02）×10；
（Ⅱ）先計算樣本中分數(shù)小于40的頻率，進而計算分數(shù)在區(qū)間[40，50）內的頻率，可估計總體中分數(shù)在區(qū)間[40，50）內的人數(shù)；
（Ⅲ）已知樣本中有一半男生的分數(shù)不小于70，且樣本中分數(shù)不小于70的男女生人數(shù)相等．進而得到答案．
【考點精析】通過靈活運用頻率分布直方圖和用樣本的頻率分布估計總體分布，掌握頻率分布表和頻率分布直方圖，是對相同數(shù)據(jù)的兩種不同表達方式.用緊湊的表格改變數(shù)據(jù)的排列方式和構成形式，可展示數(shù)據(jù)的分布情況.通過作圖既可以從數(shù)據(jù)中提取信息，又可以利用圖形傳遞信息；樣本數(shù)據(jù)的頻率分布表和頻率分布直方圖，是通過各小組數(shù)據(jù)在樣本容量中所占比例大小來表示數(shù)據(jù)的分布規(guī)律，它可以讓我們更清楚的看到整個樣本數(shù)據(jù)的頻率分布情況，并由此估計總體的分布情況即可以解答此題．