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【題目】已知函數.

（1）當時，求證： ；

（2）當且時，求函數的最小值；

（3）若，證明： .

【答案】（1）見解析（2）的最小值為.（3）見解析

【解析】【試題分析】（1）借助導數運用求函數的最小值滿足不等式即可；（2）借助問題（1）的結論進行求解；（3）先不等式進行等價轉化，再構造函數運用導數知識分析求解：

（1）證明： ，

當時， ，當時， ，

函數在上單調遞減，在上單調遞增，

所以.

（2）解：當時， ，

由第（1）問的結論可知，此時函數在上單調遞增，

，即為且時，函數的最小值為.

（3）證明:由第（2）問的結論可知，當時， ，要證： ，

只需證，即證，

設，

令，則，

函數在上單調遞增， ，即，函數在上單調遞增，

，綜上所述，當時， 且，

所以成了.

練習冊系列答案
相關習題

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【題目】分形幾何學是數學家伯努瓦·曼德爾布羅在世紀年代創(chuàng)立的一門新的數學學科，它的創(chuàng)立為解決傳統(tǒng)科學眾多領域的難題提供了全新的思路.按照如圖所示的分形規(guī)律可得如圖乙所示的一個樹形圖：

若記圖乙中第行白圈的個數為，則__________．

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【題目】5名男生4名女生站成一排，求滿足下列條件的排法：

（1）女生都不相鄰有多少種排法？

（2）男生甲、乙、丙排序一定（只考慮位置的前后順序)，有多少種排法?

（3）男甲不在首位，男乙不在末位，有多少種排法？

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，AB＝AA1＝1，E為BC中點．

(1)求證：C1D⊥D1E；

(2)在棱AA1上是否存在一點M，使得BM∥平面AD1E？若存在，求的值，若不存在，說明理由；

(3)若二面角B1AED1的大小為90°，求AD的長．

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【題目】已知二次函數， .

（1）若，寫出函數的單調增區(qū)間和減區(qū)間；

（2）若，求函數的最大值和最小值；

（3）若函數在上是單調函數，求實數的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知過點A(0，1)且斜率為k的直線l與圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N兩點．

(1)求k的取值范圍；

(2)若＝12，其中O為坐標原點，求|MN|.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】對于區(qū)間和函數,若同時滿足：①在上是單調函數；②函數， 的值域還是，則稱區(qū)間為函數的“不變”區(qū)間.

（1）求函數的所有“不變”區(qū)間.

（2）函數是否存在“不變”區(qū)間？若存在，求出實數的取值范圍；若不存在，說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】若正項數列{}滿足：，則稱此數列為“比差等數列”．

（1）請寫出一個“比差等數列”的前3項的值；

（2）設數列{}是一個“比差等數列”

（i）求證：；

（ii）記數列{}的前項和為，求證：對于任意，都有．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某中學擬在高一下學期開設游泳選修課，為了了解高一學生喜歡游泳是否與性別有關，該學校對100名高一新生進行了問卷調查，得到如下列聯表：

喜歡游泳

不喜歡游泳

合計

男生

10

女生

20

合計

已知在這100人中隨機抽取1人抽到喜歡游泳的學生的概率為．

（1）請將上述列聯表補充完整；

（2）并判斷是否有99.9%的把握認為喜歡游泳與性別有關？并說明你的理由；

（3）已知在被調查的學生中有5名來自甲班，其中3名喜歡游泳，現從這5名學生中隨機抽取2人，求恰好有1人喜歡游泳的概率．

下面的臨界值表僅供參考：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

（參考公式：，其中）

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