Question

15．已知拋物線x²=2py （p＞0），過(guò)點(diǎn)（0，4）作直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，且以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)O．
（Ⅰ）求拋物線方程；
（Ⅱ）若△MNP的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線x²=2py上，且以拋物線的焦點(diǎn)為重心，求△MNP面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由直徑所對(duì)圓周角為直角，可得x₁x₂+y₁y₂=0，設(shè)直線l方程為y=kx+4，代入拋物線的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，結(jié)合點(diǎn)在直線上，化簡(jiǎn)解方程可得p=2，進(jìn)而得到拋物線的方程；
（Ⅱ）設(shè)PF交MN于Q，P（2t，t²），M（2t₁，t₁²），N（2t₂，t₂²），運(yùn)用三角形的重心坐標(biāo)公式，求得直線MN的斜率和中點(diǎn)坐標(biāo)Q，可得直線MN的方程，再求P到直線MN的距離，求得△PMN的面積的關(guān)系式，化簡(jiǎn)整理可得t的式子，再由三元基本不等式可得最大值．

解答 解：（Ⅰ）以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)O，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁x₂+y₁y₂=0，設(shè)直線l方程為y=kx+4，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+4}\\{{x}^{2}=2py}\end{array}\right.$，可得x²-2pkx-8p=0，
x₁+x₂=2pk，x₁x₂=-8p，
以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)O，可得x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）（x₁x₂）+4k（x₁+x₂）+16
=（1+k²）（-8p）+4k（2pk）+16=0，
解得p=2，可得拋物線方程為x²=4y；
（Ⅱ）設(shè)PF交MN于Q，P（2t，t²），M（2t₁，t₁²），N（2t₂，t₂²），
由拋物線的焦點(diǎn)F（0，1）為重心，可得
$\left\{\begin{array}{l}{2t+2{t}_{1}+2{t}_{2}=0}\\{{t}^{2}+{{t}_{1}}^{2}+{{t}_{2}}^{2}=3}\end{array}\right.$，即有$\left\{\begin{array}{l}{{t}_{1}+{t}_{2}=-t}\\{{{t}_{1}}^{2}+{{t}_{2}}^{2}=3-{t}^{2}}\end{array}\right.$，
可得2t₁t₂=2t²-3，
即有k_MN=$\frac{{{t}_{2}}^{2}-{{t}_{1}}^{2}}{2{t}_{2}-2{t}_{1}}$=$\frac{{t}_{1}+{t}_{2}}{2}$=-$\frac{t}{2}$，
由F為△PMN的重心，可得Q為MN的中點(diǎn)，且為（-t，$\frac{3-{t}^{2}}{2}$），
可得直線MN方程為y=-$\frac{t}{2}$x+$\frac{3}{2}$-t²，
即有P到MN的距離為d=3•$\frac{|{t}^{2}-\frac{1}{2}|}{\sqrt{1+\frac{{t}^{2}}{4}}}$，
可得S_△MFN=$\frac{1}{2}$|MN|d=$\frac{1}{2}$$\sqrt{1+\frac{{t}^{2}}{4}}$|2t₁-2t₂|•3•$\frac{|{t}^{2}-\frac{1}{2}|}{\sqrt{1+\frac{{t}^{2}}{4}}}$
=3$\sqrt{{{t}_{1}}^{2}+{{t}_{2}}^{2}-2{t}_{1}{t}_{2}}$•|t²-$\frac{1}{2}$|=3$\sqrt{3-{t}^{2}-（2{t}^{2}-3）}$•|t²-$\frac{1}{2}$|
=$\frac{3}{2}$$\sqrt{6-3{t}^{2}}$•$\sqrt{（2{t}^{2}-1）^{2}}$
=$\frac{3}{2}$$\sqrt{（6-3{t}^{2}）（2{t}^{2}-1）^{2}}$=$\frac{3}{2}$$\sqrt{\frac{3}{4}（8-4{t}^{2}）（2{t}^{2}-1）^{2}}$
≤$\frac{3\sqrt{3}}{4}$$\sqrt{（\frac{8-4{t}^{2}+2{t}^{2}-1+2{t}^{2}-1}{3}）^{3}}$=$\frac{3\sqrt{6}}{2}$，
可得S_△PMN的最大值為$\frac{3\sqrt{6}}{2}$，此時(shí)P（±$\sqrt{6}$，$\frac{3}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程的求法，考查直線和拋物線的方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理，以及直徑所對(duì)圓周角為直角，考查三角形的面積的最值的求法，注意運(yùn)用重心坐標(biāo)公式和點(diǎn)到直線的距離公式，以及基本不等式的運(yùn)用，屬于中檔題．