【題目】設(shè)圓x2+y2=12與拋物線x2=4y相交于A,B兩點(diǎn),F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn),若過(guò)點(diǎn)F且斜率為1的直線l與拋物線和圓交于四個(gè)不同的點(diǎn),從左至右依次為P1 , P2 , P3 , P4 , 則|P1P2|+|P3P4|的值 , 若直線m與拋物線相交于M,N兩點(diǎn),且與圓相切,切點(diǎn)D在劣弧 上,則|MF|+|NF|的取值范圍是

【答案】5 ;[2+4 ,22]
【解析】解:由 ,得
即A(﹣2 ,2),B(2 ,2).
∵點(diǎn)F坐標(biāo)為(0,1),∴kFB= ,∴kl>kFB ,
所以直線l與圓交于P1、P3兩點(diǎn),與拋物線交于P2、P4兩點(diǎn),
設(shè)P1(x1 , y1),P2(x2 , y2),P3(x3 , y3),P4(x4 , y4
把直線l方程:y=x+1代入x2=4y,得x2﹣4x﹣4=0,∴x2+x4=4;
把直線l方程:y=x+1代入x2+y2=12,得2x2+2x﹣11=0,∴x1+x3=﹣1
∴|P1P2|+|P3P4|= [(x2﹣x1)+(x4﹣x3)]= [(x2+x4)﹣(x1+x3)]=5
所以|P1P2|+|P3P4|的值等于5
設(shè)直線m的方程為y=k+b(b>0),
代入拋物線方程得x2﹣4kx﹣4b=0,
設(shè)點(diǎn)M(x1 , y1),N(x2 , y2),則x1+x2=4k,
則y1+y2=k(x1+x2)+2b=4k2+2b,
∵直線m與該圓相切,∴ = ,即 ,
又|MF|=y1+1,|NF|=y2+1,
∴|MF|+|NF|=y1+y2+2=4k2+2b+2=
∵kOA=﹣ ,kOB= ,∴分別過(guò)A、B的圓的切線的斜率為 ,﹣
∴k∈[﹣ , ],∴0≤k2≤2,∴0≤ ﹣1≤12,
∵b>0,∴b∈[2 ,6]
所以|MF|+|NF|的取值范圍為[2+4 ,22].
故答案為:5 ;[2+4 ,22].

由圓的方程和拋物線的方程聯(lián)解,求得交點(diǎn)A、B的坐標(biāo),從而判斷直線l與圓交于P1、P3 , 直線l與拋物線交于P2、P4 , 另|P1P2|+|P3+P4|的表達(dá)式用P1 , P2 , P3 , P4的四點(diǎn)的橫坐標(biāo)表示,然后根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系,代入表達(dá)式,即解;先設(shè)直線m的方程y=k+b,交點(diǎn)M、N坐標(biāo),再用點(diǎn)M、N縱坐標(biāo)表示出|MF|+|NF|,由與圓相切,得到k與b的關(guān)系,消去k用b表示|MF|+|NF|,即得到關(guān)于b的一個(gè)函數(shù),由kOA=﹣ ,kOB= ,得到k的范圍,由此求得b的范圍,再將b的代入|MF|+|NF|的函數(shù)關(guān)系式中并求出其范圍.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(3)在(2)的條件下,若的圖象上 兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是函數(shù) 的不動(dòng)點(diǎn),且直線 是線段的垂直平分線,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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(。⿲(duì)任意的總有(ⅱ)

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;②

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