【題目】三個圓交于一點，又兩兩將于點、、.以為圓心的一個圓與上述三個圓分別交于點，，，其中，點在不含點的圓上，等等.又設、、的外接圓交于一點， 、的外接圓交于一點.證明：.

【答案】見解析

【解析】

以圓為基圓作反演，各點反演后的像仍用同一字母表示（下面出現(xiàn)的字母都是各點反演后的像）.則三個圓的反形為三條直線、、（如圖）.

只需證明反形中有.

由條件，反演后仍為、、的外接圓的交點，仍為、、的外接圓的交點.

首先證明：是點的等角共軛點（即等）.

事實上，

.

設的等角共軛點為.則

.

所以，.

類似得到其他兩式.

于是，.

其次，作，關于的垂足三角形、（圖）.

因，所以，、、、四點共圓.

同樣得到另兩個圓.

若這三個圓不重合，則其三條根軸（、、）共點，此時，三邊共點，矛盾.

于是這三個圓重合，即、、、、、六點共圓，設其圓心為，則在、、的中垂線上，這些中垂線平分的中點.

由共圓知，.

則.

繞點旋轉(zhuǎn)角度，再作以為中心的相似變換，使相似比為.

則，.

所以，.

顯然，.

故.

又為的中點，故.

練習冊系列答案
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【題目】某公司新上一條生產(chǎn)線，為保證新的生產(chǎn)線正常工作，需對該生產(chǎn)線進行檢測，現(xiàn)從該生產(chǎn)線上隨機抽取100件產(chǎn)品，測量產(chǎn)品數(shù)據(jù)，用統(tǒng)計方法得到樣本的平均數(shù)，標準差，繪制如圖所示的頻率分布直方圖，以頻率值作為概率估值．

（1）從該生產(chǎn)線加工的產(chǎn)品中任意抽取一件，記其數(shù)據(jù)為X，依據(jù)以下不等式評判（P表示對應事件的概率）

①

②

③

評判規(guī)則為：若至少滿足以上兩個不等式，則生產(chǎn)狀況為優(yōu)，無需檢修；否則需檢修生產(chǎn)線，試判斷該生產(chǎn)線是否需要檢修；

（2）將數(shù)據(jù)不在內(nèi)的產(chǎn)品視為次品，從該生產(chǎn)線加工的產(chǎn)品中任意抽取2件，次品數(shù)記為Y，求Y的分布列與數(shù)學期望．

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（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）如圖，為拋物線上三點，且線段與軸交點的橫坐標依次組成公差為1的等差數(shù)列，若的面積是面積的，求直線的方程．

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【題目】我國計劃發(fā)射火星探測器，該探測器的運行軌道是以火星（其半徑）的中心為一個焦點的橢圓．如圖，已知探測器的近火星點（軌道上離火星表面最近的點）到火星表面的距離為，遠火星點（軌道上離火星表面最遠的點）到火星表面的距離為．假定探測器由近火星點第一次逆時針運行到與軌道中心的距離為時進行變軌，其中分別為橢圓的長半軸、短半軸的長，求此時探測器與火星表面的距離（精確到）．

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（3）問：非等腰的奇異三角形有多少個？

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