【題目】已知函數(shù).

（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)有兩個極值點，且，求證；

（3）設(shè)，對于任意時，總存在，使成立，求實數(shù)的取值范圍.

【答案】（1）遞增區(qū)間為和,遞減區(qū)間為.（2）見解析（3）

【解析】分析：（1）求出，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；（2）在上有兩個不等的實根,由韋達定理及對數(shù)的運算法則可得，只需利用導數(shù)證明即可；（3）只需成立即可.化簡得,，所以在遞增，，利用在上恒成立可得結(jié)果.

詳解：(1)

時,,

令或,令,

所以的遞增區(qū)間為和,遞減區(qū)間為.

(2)由于有兩個極值點,

則在上有兩個不等的實根,

設(shè)，

所以

所以在上遞減，所以即.

(3)由題意知：只需成立即可. 因為,

所以，因為，所以，而，

所以，所以在遞增，

當時，.

所以在上恒成立，

令，則在上恒成立，

，又

當時，,在遞減,當時，,

所以，所以；

當即時，

①即時，在上遞增，

存在，使得，不合；

②即時，，在遞減,

當時，,所以，

所以綜上, 實數(shù)的取值范圍為.

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（Ⅱ）當時，若（其中）恒成立，求的最小值的最大值．

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