Question

10．設(shè)函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（a-3）x，x≥2}\\{（{\frac{1}{6π}∫}_{-2}^{2}\sqrt{4-{t}^{2}}dt）^{x}-1，x＜2}\end{array}\right.$，a_n=f（n）（n∈N^*），若數(shù)列{a_n}是單調(diào)遞減數(shù)列，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，$\frac{8}{3}$）．

Answer 1

分析 計(jì)算定積分，求出f（x）的解析式，令$\left\{\begin{array}{l}{a-3＜0}\\{f（1）＞f（2）}\end{array}\right.$解不等式組得出a的范圍．

解答 解：由定積分的幾何意義可知：${∫}_{-2}^{2}$$\sqrt{4-{t}^{2}}$dt=$\frac{1}{2}$π×2²=2π，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（a-3）x，x≥2}\\{（\frac{1}{3}）^{x}-1，x＜2}\end{array}\right.$，
∴a₁=f（1）=-$\frac{2}{3}$，n≥2時(shí)，a_n=f（n）=（a-3）n，
∵數(shù)列{a_n}是單調(diào)遞減數(shù)列，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2}{3}＞2（a-3）}\\{a-3＜0}\end{array}\right.$，解得a＜$\frac{8}{3}$．
故答案為：（-∞，$\frac{8}{3}$）．

點(diǎn)評 本題考查了定積分的計(jì)算，數(shù)列單調(diào)性的判斷，屬于中檔題．