Question

20．在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知橢圓C₁：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)F₁（-5，0），且點(diǎn)P（0，12）在C₁上．
（1）求C₁的方程；
（2）若點(diǎn)M到橢圓C₁的左焦點(diǎn)與右焦點(diǎn)的距離之比為2：3，求點(diǎn)M的坐標(biāo)（x，y）滿足的方程．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，則b=12，c=5，a²=b²+c²=169，即可求得C₁的方程；
（2）由題意，利用兩點(diǎn)之間得距離公式，化簡整理即可求得M的坐標(biāo)（x，y）滿足的方程．

解答 解：（1）由題意可知：橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，則b=12，c=5，
則a²=b²+c²=169，
∴C₁的方程$\frac{{x}^{2}}{169}+\frac{{y}^{2}}{144}=1$；
（2）由F₁（-5，0），F(xiàn)₂（5，0），由$\frac{丨M{F}_{1}丨}{丨M{F}_{2}丨}$=$\frac{2}{3}$，
則9丨MF₁丨²=4丨MF₂丨²，即9（x+5）²+9y²=4（x-5）²+4y²，
整理得：（x+13）²+y²=144，
點(diǎn)M的坐標(biāo)（x，y）滿足的方程（x+13）²+y²=144．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及兩點(diǎn)之間的距離公式，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．