Question

3．如圖，正方形ABCD內(nèi)接于圓O：x²+y²=2，M，N分別為邊AB，BC的中點，已知點P（2，0），當(dāng)正方形ABCD繞圓心O旋轉(zhuǎn)時，$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{ON}$的取值范圍是（　　）

• A． [-1，1]
• B． $[{-\sqrt{2}，\sqrt{2}}]$
• C． [-2，2]
• D． $[{-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}]$

Answer 1

分析 由平面幾何知識可得OM=ON，設(shè)M（cosα，sinα），用α表示出$\overrightarrow{PM}$和$\overrightarrow{ON}$，得到$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{ON}$關(guān)于α的函數(shù)，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)得出答案．

解答 解：圓O的半徑r=$\sqrt{2}$，∴正方形的邊長為1，
∴OM=ON=1，設(shè)M（cosα，sinα），則N（cos（$\frac{π}{2}+α$），sin（$\frac{π}{2}+α$）），即N（-sinα，cosα），
∴$\overrightarrow{PM}$=（cosα-2，sinα），$\overrightarrow{ON}$=（-sinα，cosα），
∴$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{ON}$=2sinα-sinαcosα+sinαcosα=2sinα，
∵-1≤sinα≤1，∴-2≤2sinα≤2，
故選：C．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積運算，三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．