1.已知函數(shù)f(x)=(x+a)ln(a-x).
(Ⅰ)當(dāng)a=1時(shí),求曲線y=f(x)在x=0處的切線方程;
(Ⅱ)當(dāng)a=e時(shí),求證:函數(shù)f(x)在x=0處取得最值.

分析 (I)利用f'(0)=k切線斜率,可得切線方程.
(Ⅱ)證法一:定義域(-∞,e).函數(shù)a=e,$f'(x)=ln(e-x)+\frac{x+e}{x-e}$,f(0)=e,$f'(x)=ln(e-x)+\frac{2e}{x-e}+1$.當(dāng)x∈(-∞,e)時(shí),y=ln(e-x),$y=\frac{2e}{x-e}+1$,均為減函數(shù),可得f'(x)在(-∞,e)上單調(diào)遞減,又f'(0)=0,即可證明.
證法二:當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí),證明f′(x)>0,可得f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞增;  當(dāng)x∈(0,e),證明f′(x)<0,f(x)在x∈(0,e)上單調(diào)遞減,即可證明結(jié)論.

解答 (Ⅰ)解:因?yàn)閍=1,$f'(x)=ln(1-x)+\frac{x+1}{x-1}$,…(2分)
f'(0)=-1,所以k=-1…(3分)
因?yàn)閒(0)=0所以切點(diǎn)為(0,0),…(4分)
則切線方程為y=-x…(5分)
(Ⅱ)證明:
證法一:定義域(-∞,e).
函數(shù)a=e,所以$f'(x)=ln(e-x)+\frac{x+e}{x-e}$…(6分),
f(0)=e,$f'(x)=ln(e-x)+\frac{2e}{x-e}+1$.
當(dāng)x∈(-∞,e)時(shí),y=ln(e-x),$y=\frac{2e}{x-e}+1$,均為減函數(shù)      …(7分)
所以f'(x)在(-∞,e)上單調(diào)遞減;  …(8分)
又f'(0)=0,
因?yàn)楫?dāng)x∈(-∞,0)時(shí),$f'(x)=ln(e-x)+\frac{2e}{x-e}+1>0$,…(9分)
f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞增;                                …(10分)
又因?yàn)楫?dāng)x∈(0,e),$f'(x)=ln(e-x)+\frac{2e}{x-e}+1<0$…(11分)
f(x)在x∈(0,e)上單調(diào)遞減;                              …(12分)
因?yàn)閒(0)=0,所以f(x)在x=0處取得最大值.           …(13分)
證法二:當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí),-x>0,e-x>e,ln(e-x)>lne=1,ln(e-x)+1>2…(7分)
又因?yàn)閤<0,$x-e<-e,\frac{1}{x-e}>\frac{1}{-e},\frac{2e}{x-e}>\frac{2e}{-e}=-2,\frac{2e}{x-e}>-2$…(8分)
∴$f'(x)=ln(e-x)+\frac{2e}{x-e}+1>0$,f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞增;        …(9分)
當(dāng)x∈(0,e),-x∈(-e,0),e-x∈(0,e),ln(e-x)<1,…(10分)
又因?yàn)閤∈(0,e),$-e<x-e<0,\frac{1}{x-e}<\frac{1}{-e},\frac{2e}{x-e}<\frac{2e}{-e}=-2,\frac{2e}{x-e}<-2$…(11分)
∴$f'(x)=ln(e-x)+\frac{2e}{x-e}+1<0$,f(x)在x∈(0,e)上單調(diào)遞減;       …(12分)
又因?yàn)閒(0)=0,所以f(x)在x=0處取得最大值.                   …(13分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、方程與不等式的解法、分類(lèi)討論方法,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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