Question

11．已知函數(shù)f（x）=（ax²-bx）e^x（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，a，b∈R）的圖象在A（0，f（0））處的切線與直線x+y+2=0垂直．
（Ⅰ）當a=-$\frac{1}{2}$時，求函數(shù)f（x）的極值點；
（Ⅱ）若f（x）≤x在[-1，0]上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)f′（0）=1，求出b的值；求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出f（x）的極值點即可；
（Ⅱ）問題轉(zhuǎn)化為a≤$\frac{{e}^{-x}-1}{x}$在[-1，0]恒成立，令g（x）=$\frac{{e}^{-x}-1}{x}$，x∈[-1，0]，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=[ax²+（2a-b）x-b]e^x，
故k=f′（0）=-b=1，解得：b=-1，
故f（x）=（ax²+x）e^x，
a=-$\frac{1}{2}$時，f（x）=（-$\frac{1}{2}$x²+x）e^x，
f′（x）=（-$\frac{1}{2}$x²+1）e^x，
令f′（x）＞0，解得：-$\sqrt{2}$＜x＜$\sqrt{2}$，
令f′（x）＜0，解得：x＞$\sqrt{2}$或x＜-$\sqrt{2}$，
故f（x）在（-∞，-$\sqrt{2}$）遞減，在（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）遞增，在（$\sqrt{2}$，+∞）遞減，
故x=-$\sqrt{2}$是f（x）的極小值點，x=$\sqrt{2}$是f（x）的極大值點；
（Ⅱ）若f（x）≤x在[-1，0]上恒成立，
即（ax²+x）e^x≤x在[-1，0]恒成立，
問題轉(zhuǎn)化為a≤$\frac{{e}^{-x}-1}{x}$在[-1，0]恒成立，
令g（x）=$\frac{{e}^{-x}-1}{x}$，x∈[-1，0]，
g′（x）=$\frac{{-e}^{-x}（x+1）-1}{{x}^{2}}$＜0，
故g（x）在[-1，0]遞減，
而x→0時，$\underset{lim}{x→0}$$\frac{{e}^{-x}-1}{x}$=$\underset{lim}{x→0}$$\frac{{-e}^{-x}}{1}$=-1，
故a≤-1．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，考查轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．