Question

18．已知函數(shù)f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{m{x^2}+1，x≥0}\\{（{m^2}-1）{2^x}，x＜0}\end{array}}$在（-∞，+∞）上是具有單調(diào)性，則實(shí)數(shù)m的取值范圍（1，$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上是具有單調(diào)性，需要對(duì)m分類(lèi)討論，當(dāng)m＞1，m＜-1，m=±1、0，-1＜m＜0，0＜m＜1分別判斷分段函數(shù)的單調(diào)性．

解答 解：令 h（x）=mx²+1，x≥0；g（x）=（m²-1）2^x，x＜0；
①當(dāng) m＞1時(shí)，要使得f（x）在（-∞，+∞）上是具有單調(diào)性，
即要滿足m²-1≤1⇒-$\sqrt{2}$≤m≤$\sqrt{2}$
故：1＜m≤$\sqrt{2}$；
②當(dāng) m＜-1時(shí)，h（x）在x≥0上遞減，g（x）在x＜0上遞增，
所以，f（x）在R上不具有單調(diào)性，不符合題意；
③當(dāng) m=±1時(shí)，g（x）=0；當(dāng)m=0時(shí)，h（x）=1；
所以，f（x）在R上不具有單調(diào)性，不符合題意；
④當(dāng)-1＜m＜0 時(shí)，h（x）在x≥0上遞減，g（x）在x＜0上遞減，
對(duì)于任意的x≥0，g（x）＜0；當(dāng)x→0時(shí)，h（x）＞0；
所以，f（x）在R上不具有單調(diào)性，不符合題意；
⑤當(dāng)0＜m＜1時(shí)，h（x）在x≥0上遞增，g（x）在x＜0上遞減；
所以，f（x）在R上不具有單調(diào)性，不符合題意；
故答案為：（1，$\sqrt{2}$]

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了分段函數(shù)的單調(diào)性，二次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)、以及分類(lèi)討論知識(shí)點(diǎn)，屬基礎(chǔ)題．