Question

15．己知函數(shù)f（x）=（x+l）lnx-ax+a （a為正實(shí)數(shù)，且為常數(shù)）
（1）若f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；
（2）若不等式（x-1）f（x）≥0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為a≤lnx+$\frac{1}{x}$+1在（0，+∞）恒成立，（a＞0），令g（x）=lnx+$\frac{1}{x}$+1，（x＞0），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可；
（2）問題轉(zhuǎn)化為（x-1）[（x+1）lnx-a]≥0恒成立，通過討論x的范圍，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．

解答 解：（1）f（x）=（x+l）lnx-ax+a，f′（x）=lnx+$\frac{1}{x}$+1-a，
若f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
則a≤lnx+$\frac{1}{x}$+1在（0，+∞）恒成立，（a＞0），
令g（x）=lnx+$\frac{1}{x}$+1，（x＞0），
g′（x）=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，
令g′（x）＞0，解得：x＞1，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
故g（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增，
故g（x）_min=g（1）=2，
故0＜a≤2；
（2）若不等式（x-1）f（x）≥0恒成立，
即（x-1）[（x+1）lnx-ax+a]≥0恒成立，
當(dāng)0＜a≤2時(shí)，由（1）知，當(dāng)x∈（0，﹢∞）時(shí)，f（x）單調(diào)遞增．
又f（1）=0，當(dāng)x∈（0，1），f（x）＜0；當(dāng)x∈（1，﹢∞）時(shí)，f（x）＞0，故不等式（x-1）f（x）≥0恒成立．
若a＞2，對(duì)f（x）二次求導(dǎo)，令二次導(dǎo)函數(shù)=0，得到x₀＞1，當(dāng)x∈（1，x₀）時(shí)，f（x）單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x∈（1，x₀）時(shí)，f（x）＜f（1）=0，此時(shí)（x-1）f（x）＜0，矛盾，
綜上所述，0＜a≤2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想，考查函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．