Question

3．函數(shù)y=f（x）圖象上不同兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）處的切線的斜率分別是k_A，k_B，規(guī)定φ（A，B）=$\frac{|{k}_{A}-{k}_{B}|}{|AB|}$叫做曲線在點A與點B之間的“彎曲度”．設(shè)曲線y=e^x上不同的兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且x₁-x₂=1，若t•φ（A，B）＜3恒成立，則實數(shù)t的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，3]
• B． （-∞，2]
• C． （-∞，1]
• D． [1，3]

Answer 1

分析 求出函數(shù)y=e^x的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，運用φ（A，B），由分離參數(shù)法，可得t＜$\frac{3}{φ（A，B）}$恒成立，求得右邊的范圍或最值，即可得到t的范圍．

解答 解：y=e^x的導(dǎo)數(shù)為y′=e^x，
φ（A，B）=$\frac{|{k}_{A}-{k}_{B}|}{|AB|}$=$\frac{|{e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}|}{\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}）^{2}}}$=$\frac{|{e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}|}{\sqrt{1+（{e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}）^{2}}}$＞0，
可得$\frac{1}{φ（A，B）}$=$\frac{\sqrt{1+（{e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}）^{2}}}{|{e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}|}$=$\sqrt{1+\frac{1}{（{e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}）^{2}}}$＞1，
t•φ（A，B）＜3恒成立，則t＜$\frac{3}{φ（A，B）}$恒成立，
由$\frac{3}{φ（A，B）}$＞3，
即有t≤3．
故選：A．

點評 本題考查新定義的理解和運用，考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的斜率，考查不等式恒成立問題的解法，注意運用轉(zhuǎn)化思想，求最值，考查運算能力，屬于中檔題．