Question

設(shè)函數(shù)f（x）=2ax-

b

x

+lnx．
（Ⅰ）當(dāng)b=a時(shí)，若f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍．
（Ⅱ）若f（x）在x=m，x=n（m＜n）處取得極值，若方程f（x）=c在（0，2n]上有唯一解，則c的取值范圍為 {x|x＜x₀或s≤x＜t}，求t-s的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

專題：計(jì)算題,分類(lèi)討論,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）當(dāng)a=b，f（x）=2ax-

a

x

+lnx，對(duì)a討論，分①當(dāng)a=0時(shí)，②當(dāng)a＞0時(shí)，③當(dāng)a＜0時(shí)，通過(guò)導(dǎo)數(shù)判斷即可得到a的取值范圍；
（Ⅱ）由于f（x）=2ax-

b

x

+lnx，定義域?yàn)椋?，+∞） 求出導(dǎo)數(shù)，又f（x）在x=m，x=n處取得極值，則f′（m）=f′（n）=0．求得a，b，得到f′（x），為使方程f（x）=c只有唯一解的c的取值范圍為{x|x＜x₀或s≤x＜t}，
只有可能s=f（2n），t=f（2m），f（m）＞f（2n），故只要求f（m）-f（2n）的最大值，記m=kn（0＜k＜1），對(duì)k討論，當(dāng)0＜k＜

1

2

時(shí)，當(dāng)

1

2

＜k≤1時(shí)，通過(guò)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，即單調(diào)性即可得到．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)a=b，f（x）=2ax-

a

x

+lnx，
①當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=lnx，則f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
②當(dāng)a＞0時(shí)，又x＞0，∴2ax²+x+a＞0，∴f′（x）＞0，則f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
③當(dāng)a＜0時(shí)，設(shè)g（x）=2ax²+x+a，令△≤0解得a≤-

2

4

．f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減．
綜上得，a的取值范圍是（-∞，-

2

4

]∪[0，+∞）．
（Ⅱ）由于f（x）=2ax-

b

x

+lnx，定義域?yàn)椋?，+∞）∴f′（x）=2a+

b

x2

+

1

x

．
又f（x）在x=m，x=n處取得極值，f′（m）=f′（n）=0．
即

2a+ b m2 + 1 m =0 2a+ b n2 + 1 n =0

所以

a=- 1 2(m+n) b=- mn m+n

故f′（x）=-

1

m+n

-

mn

(m+n)x2

+

1

x

=-

(x-m)(x-n)

(m+n)x2

，
故f（x）在（0，m）上單調(diào)遞減，在[m，n]上單調(diào)遞增，在[n，2m]上單調(diào)遞減．
所以f（m）是f（x）在（0，2n）上的極小值，f（n）是f（x）在（0，2n]上的極大值．
為使方程f（x）=c只有唯一解的c的取值范圍為{x|x＜x₀或s≤x＜t}，
只有可能s=f（2n），t=f（2m），f（m）＞f（2n），故只要求f（m）-f（2n）的最大值．
f（m）=lnm+

n-m

n+m

，f（2n）=

m-4n

2(m+n)

+ln2n．f（m）-f（2n）=

6n-3m

2(n+m)

+ln

m

2n

．
記m=kn（0＜k＜1），則f（m）-f（2n）=

6-3k

2k+2

+ln

k

2

．令g（k）=）=

6-3k

2k+2

+ln

k

2

．
則g′（k）=

(2k-1)(k-2)

2k(k+1)2

當(dāng)0＜k＜

1

2

時(shí)，f′（x）＞0，故f（x）在[m，n]上單調(diào)遞增；
當(dāng)

1

2

＜k≤1時(shí)，f′（x）＜0，故f（x）在[n，2n]上單調(diào)遞減．
所以g（k）的最大值為g（

1

2

）=

3

2

-ln4．所以t-s的最大值為

3

2

-ln4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和求極值，考查分類(lèi)討論的思想方法和函數(shù)方程的思想方法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．